长 方 体 和 正 方 体(2)(5)

要等距离地切几刀（每个面上切的刀数相同）？

把一个六个面都涂色的正方体的每个面等距离地切n刀，得到的小正方体的总个数为（n＋1）3，其中三个面涂色的小正方体的个数为8（固定不变）；两个面涂色的小正方体的个数为（n－1）×12；一个面涂色的小正方体的个数为（n－1）2×6；六个面都没涂色的小正方体的个数为（n－1）3。

当n＝5时，（5－1）3＝64；当n＝6时，（6－1）3＝125。所以，要想得到100个六个面都没有涂色的小正方体，至少应该在大正方体的每个面上等距离地切6刀。

【作业题】

1、一个长方体棱长的总和是48厘米，已知长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，求这个长方体的体积。

2、用2100个棱长是1厘米的正方体木块堆成一个实心的长方体。已知长方体的高是10厘米，并且长和宽都大于高。这个长方体的长和宽各是多少厘米？

3、在一个长20分米、宽15分米的长方体容器中，有20分米深的水。当在水中沉入一个棱长30厘米的正方体铁块时，容器中水深多少分米？

4、把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一个棱长5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体。求这个长方体的高。

5、有一块长方形的铁皮，长30厘米，宽20厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边长为2厘米的小正方形，然后制成一个无盖的长方体盒子。

（1）求这个盒子的容积。

（2）做这个盒子用了多少平方厘米铁皮？

6、有一块长方形的铁皮，长32厘米。在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正方形，然后制成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的容积是768立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。

长 方 体 和 正 方 体（二）

例1 18个边长为2厘米的小正方体堆成如图的形状，求它的表面积。

【分析与解】这个立体图形的表面是由若干个边长为2厘米的正方形组成的，可按上下、左右、前后的顺序数出共有多少个小正方形，即可求得表面积。

【解】前面和后面有小正方形9×2＝18（个）；

上面和下面有小正方形9×2＝18（个）； 左面和右面有小正方形8×2＝16（个）。 2×2×（18＋18＋16）＝208（平方厘米） 答：表面积是208平方厘米。

例2 有一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体表面积的和为240平方厘米，求原来长方体的体积。

【分析与解】设原来长方体的底面边长为a厘米，高为b厘米。则它被截成两个长方体后，两个截面的面积和为2a2平方厘米。而这也就是原长方体被截成两个长方体的表面积的和比原长方体的表面积所增加的数值，因此，根据题意有：

190＋2a2＝240 可知：a2＝25，故a＝5（厘米） 又因为2a2＋4ah＝190

190?2?25解得，h＝?7（厘米）

4?5所以，原来长方体的体积为：

V＝a2h＝25×7＝175（立方厘米）

例3 有一些相同尺寸的正方体积木，准备在积木的各面上粘贴游戏所需的字母和数目字。但全部积木的表面总面积不够用，还需增加一倍，请你想办法，在不另添积木的情况下，把积木的各面面积的总和增加一倍。

【分析与解】把每一块积木锯三次，锯成8块小立方体 （如图），这样，每锯一次便得到两个大截面，使表面积

11增加倍，锯三次使截面增加3×＝1（倍），因此全部

33小积木的表面总面积就比原积木表面总面积增加了一倍。 例4

把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？

【分析与解】把两个相同的大长方体拼成一个大长方

体，需要把两个相同面拼合，所得大长方体的表面积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面积最小，就必须使两个拼合面的面积最大，即减少两个9×7的面。

（9×9+9×4+7×4）×2×2—9×7×2 =（63+36+28）×4—126 =508—126 =382（平方厘米）

答：这个大长方体的表面积最少是382平方厘米。 例5

一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方里，求原长方体的表面积。

【分析与解】我们知道：体积=长×宽×高；由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高=40÷2=20（平方厘米）；由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长×高=90÷3=30（平方厘米）；由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长×宽=96÷4=24（平方厘米）。而长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2=（20+30+24）×2=148（平方厘米）。

即：40÷2=20（平方厘米） 90÷3=30（平方厘米）

96÷4=24（平方厘米）

（30+20+24）×2 =74×2

=148（平方厘米）

答：原 长方体的表面积是148平方厘米。

例6

有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米，如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，那么大水池水面将升高多少厘米？

【分析与解】两个水池水面升高了的体积就是两堆碎石的体积：30×30×4+20×20×11=8000（立方厘米），这两堆碎石沉没到大水池中，体积不会变，升高的高度应是碎石体积÷大水池的底面积。

30×30×4+20×20×11=8000（立方厘米） 8000÷（40×40）=5（厘米）

答：大水池水面将升高厘米。

【作业题】

1、一个正方体木块，表面积是96平方厘米，把它锯成体积相等的8个正方体小木块，每个小木块的表面积是多少？

2、把8个同样大小的小正方体拼成一个大正方体。已知小正方体的表面积是150平方厘米，大正方体的表面积是多少平方厘米？

3、把若干个体积相同的小正方体拼成一个大正方体，然后在大正方体的表面涂上红色。已知一面涂红色的小正方体有96个，那么，两面涂红色的小正方体有多少个？

4、右图是由16个棱长2厘米的小正方体重叠而成的，求这个立体图形的表

面积。

5、一个正方体木块，棱长8厘米。如果在这个木块的六个面的中心位置各挖去一个边长为2厘米的正方形孔，直透对面。所得立体图形的体积是多少？表面积是多少？

6、如图，在一个棱长为2厘米的正方体上面的正中间向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面再向下挖一个棱长为0.5厘米的小洞。第三个小洞的棱长为0.25厘米，挖法与前两个小洞的挖法相同。现在这个立体图形的表面积是多少？

7、1000个体积为1立方厘米的小立方体合在一起成为一个边长为10厘米的大立方体，表面涂上油漆后再分为原来的小立方体，那么这些小立方体中至少有一面被油漆过的数目是多少个？