长 方 体 和 正 方 体(2)(4)

画出壁虎捕捉蚊子的最短路线。

3、有一个长方体的盒子，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米。在这个盒子里放长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，最多能放多少个木块？

4、一个长方体木块，长5分米，宽3分米，高4分米，在它六个面上都漆上油漆，然后锯成棱长都是1分米的正方体木块。锯成的木块中几块三面有油漆？两个面、一个面有油漆的各是多少块？没有油漆的是多少块？

5、用一块长30厘米、宽20厘米的长方形铁皮（如下图），做一个高为5厘米的无盖盒子。

（1）画一画，该如何下料？在图上画出来。 （2）算一算，这个盒子的容积有多少升？

30cm 20cm 6、一块长方体的钢材重71.1千克，横截面为边长6厘米的正方形，已知每立方分米的钢重7.9千克。这根钢材长多少米？

7、 下面是一个表面被涂上红色的棱长10厘米的正方体。如果把它沿虚线切成8个小正方体，这些小正方体中，没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？

8、从一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体上面，尽可能大

地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩余的体积是多少立方厘米？

长 方 体 和 正 方 体（一）

我们已经学习了长方体和正方体的有关知识，如长方体和正方体的特征，长方体和正方体表面积、体积的计算。在数学竞赛中，有许多问题涉及长方体和正方体的知识，这些问题既有趣，又具有一定的思考性。解答这些问题，不仅需要我们具备较扎实的基础知识和较强的观察能力、做图能力和空间想象能力，还要能掌握一些解题的思路和技巧。通过本讲的学习，同学们将从解题的过程中得到一些启示，悟出一些道理，从而提高空间想象能力和分析推理能力。

例1 在一个长15分米、宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水。如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么，水箱中水深多少分米？ 【思路一】： 正方体铁块放入水中后，水面上升，上升部分的水的体积与铁块的体积相等。因此，只要求出上升部分水的高度，就可以求出现在水的深度。

【思路二】： 用水箱中水和铁块的体积之和，除以水箱的底面积，就可以求出现在水的深度。

【解法一】30厘米＝3分米 3×3×3÷（15×12）＋10 ＝0.15＋10 ＝10.15（分米）

【解法二】（15×12×10＋3×3×3）÷（15×12） ＝1827÷180

＝10.15（分米） 答：水箱中水深10.15分米。

例2 一个长方体容器内装满水，现在有大、中、小三个铁球。第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中。已知每次从容器中溢出的水量的情况是：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2.5倍。问：大球的体积是小球的多少倍？

【分析与解】（1）当长方体容器装满水时，沉入一个球，就要溢出一定的水，

溢出的水的体积和球的体积相等。（2）当球在容器中的时候，容器是满的，球取出之后，容器中空出的体积与取出球的体积相等。（3）当容器中的水不满时，沉入一个球，如果溢出一定量的水，那么，球的体积相当于溢出的水的体积加上原来长方体容器中空出的体积。我们假设小球的体积为1，根据球放入容器后水溢出的情况，球溢出相应的大球和中球的体积。

设小球的体积为1，则第一次溢出的水的体积也为1。根据第二次溢出的水是第一次的3倍，可知第二次溢出的水是1×3＝3。因为取出小球后容器中空出的体积为1，所以，中球的体积是3＋1＝4。根据第三次溢出的水是第一次的2.5倍，可知第三次溢出的水为1×2.5。因为取出中球后容器中空出的体积是4，所以，大球与小球体积的和是4＋2.5＝6.5。从而可以求出大球的体积为6.5－1＝5.5，以及大球的体积是小球的倍数。

【解】（1×3＋1＋1×2.5－1）÷1＝5.5 答：大球的体积是小球的5.5倍。

例3 一个长方体容器的底面是一个边长60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米、底面边长15厘米的长方体铁块。这时容器里的水深0.5米。如果把铁块取出，容器里水深多少厘米？

【分析与解】要求容器中水深多少厘米，可以用水的体积除以容器的底面积；也可以用原来的水深减去铁块取出后水面下降的高度。

【解法一】0.5米＝50厘米

（60×60－15×15）×50＝168750（立方厘米） 168750÷（60×60）＝46.875（厘米）

【解法二】50－15×15×50÷（60×60） ＝50－3.125

＝46.875（厘米） 答：容器里水深46.875厘米。

例4 有一个正方体，棱长是6厘米。如果把这个正方体切成棱长是2厘米的小正方体（如左图），那么，这些小正方体表面积的和是多少？

【思路一】： 用每块小正方体的表面积乘以块数，得到所有小正方体表

面积的和。

【思路二】： 将原来正方体切开后，原来的六个面仍是所求表面积的一部分，而每切

一刀，就增加2个正方形的剖面，现在一共切了6刀，表面积就比原来增加了2×6＝12（个）正方形面的面积。用原来正方体的表面积加上增加的面积，就得到所有小正方体表面积的和。

【解法一】（6×6×6）÷（2×2×2）＝27（块） 2×2×6×27＝648（平方厘米） 【解法二】6×6×（6＋2×6） ＝36×18

＝648（平方厘米） 答：表面积的和是648平方厘米。

例5 一个表面涂满了红色的正方体，在它的每个面上都等距离地切两刀。 （1）三个面涂有红色的小正方体有几个？ （2）两个面涂有红色的小正方体有几个？ （3）一个面涂有红色的小正方体有几个？ （4）六个面都没有涂红色的小正方体有几个？

【分析】把大正方体的每个面都切两刀，共可得到3×3×3＝27（个）小正方体。三个面都涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，共有8个。两个面涂有红色的小正方体的位置在每条棱上，共有1×12＝12（个）。一个面涂有红色的小正方体的位置在每个面的中间，共有1×6＝6（个）。六个面都没有涂红色的小正方体在大正方体的中间，从27个小正方体中去掉三个面、两个面、一个面涂红色的小正方体，剩下的就是六个面都没涂红色的小正方体。

【解】（1）三个面涂红色的小正方体有8个；

（2）两个面涂红色的小正方体有1×12＝12（个）； （3）一个面涂红色的小正方体有1×6＝6（个）；

（4）六个面都没有涂红色的小正方体有27－（8＋12＋6）＝1（个）。 想一想： 如果要得到100个六个面都没有涂红色的小正方体，那么，每个面上至少需