量子力学习题答案(3)

111112( )?A??28888

上述A为归一化常数，可由归一化条件，得 1???nn?(A42?4?A216)?2???A22?2??

∴ A?1/?? ∴ 动量p的平均值为

p??npn?nA2?0?2k??16?2???2k??p2A216?2???k??A216?2???k??A2

?2???016 T?2???npn22?22?n 18k?2?22 ?0?22k??2??2??18?2

?5k?8?

3.7 一维运动粒子的状态是

?Axe??x, 当x?0 ?(x)??

? 0, 当x?0其中??0，求：

(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。

解：(1)先求归一化常数，由 1? ??????(x)dx?22??0Axe22?2?xdx

14?3A

∴A?2?3/2

?(x)?2?3/2xe??x (x?0) ?(x)?0 (x?0)

11

c(p)?????12??e?ikx?(x)dx?(12??)1/2?2?3/2??0xe?(??ik)xdx

?(2?3??3)1/2[?x??ik1e?(??ik)x?0?1??ik1(??i??0e?(??ik)xdx

?(2???)1/2(??ik)2??(2?3??)1/2p?

)2 动量几率分布函数为 ?(p)?c(p)?22?31(??2??p?22?)22??33221(???p)22?

(2) p???????(x)dx??i???(x)p?*?04?xe3??xddx(xe??x)dx

??i?4?3?x(1??x)e?2?xdx

0 ??i?4?3?(x??x2)e?2?xdx

0? ??i?4?3( ?0 或：p?14?2?14?2)

????cp2pdp?0

被积函数是个奇函数

3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数?(x)?Ax(a?x)描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。

解：一维无限深势阱的的本征函数和本征值为

?2n?sinx, 0?x?a? ?(x)?aa? 0, x?0, x?a?En?n??2?a2222 (n?1， 2， 3， ?)

2 粒子的几率分布函数为?(E)?Cn

12

Cn??????(x)?(x)dx?*?a02asinn?ax?(x)dx

先把?(x)归一化，由归一化条件，

1??????(x)dx?22?a0Ax(a?x)dx?A32222?a0x(a22?2ax?x)dx

2 ?A2?aa05(ax?2axa522?x)dx

4 ?A(3?2?a55)?A2a530

∴A?2a30aa30a5

∴ Cn??a0?5sinn?ax?x(a?x)dx

?215a?3[a?xsin0n?axdx?n?ax??a0xsina2322n?an?axdx]

an?n?a215a3[?22a2

n?xcosn?ax?2an?33sinn?ax?axcos2x

?2an?2xsinn?3cosx]0 ?415n?33[1?(?1)]

n ∴ ?(E)?Cn2?240n?66[1?(?1)]

n2?960，n?1， 3， 5， ?? ??n6?6

? 0，n?2, 4, 6, ?? E???????(x)dx??(x)H?a0?(x)2?2p2??(x)dx

??a030a5x(a?x)?[??d222?dxx(a?x)]dx

13

?30?2?a5?225?

a0x(a?x)dx?30?2?a5(a32?a33)

??a

3.9.设氢原子处于状态 ?(r,?,?)?12R21(r)Y10(?,?)?32R21(r)Y1?1(?,?)

求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

解：在此状态中，氢原子能量有确定值 E2???es2222?n???es8?22 (n?2)

角动量平方也有确定值

L2??(??1)?2?2?2 (??1) 角动量Z分量的可能值为 LZ1?0；LZ2??? 其相应的几率分别为 其平均值为 LZ?14?0???34??34?

14，

34

3.11. 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系(?x)2?(?p)2?? 解： p?0 p2?2? T? x? x?22542k?kx?kx?222

1212coskx]dx?0coskx]dx??2222?????Ax[sin222

???Ax[sin22 (?x)?(?p)?(x?x).(p?p)??

14

24.1.求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和L2x的矩阵元。 解：(Lx)p?p?(12??12??)3?e?e?i??p??r??z?zp?y)e(ypi??p?r?d?

?()3?i??p??r?(ypz?zpy)ei??p?r?d?

??pzi??p?r? ?(12??)3?e?i??p??r?(?i?)(pz??py1?py)ed?

?(?i?)(pz???py?py??py??pz)(2??)3?ei???（p?p?）?r?d?

?i?(py?pz?pz??)?(p?p?)

2?(x)L??d? (L2x)p?p???*p?xpi??p??r?i??p?r?? ?(12??12??)3?e?e??z?zp?y)e(yp2d?

i??p?r? ?()3?i??p??r??z?zp?y)(yp?z?zp?y)e(ypd?

i??p?r? ?(12??)3?e?i??p?r??z?zp?y)(i?)(py(yp??pz?i??p??r??pz??py)ed?

?(i?)(py??pz?pz??py)(12??)3?e?z?zp?y)e(ypi??p?r?d?

???(py2??pz??pz?pz??py??py)(212??)3?ei???（p?p?）?r?d?

2 ???(py?pz??2)?(p?p?)

4.3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。

解：定态薛定谔方程为 ?

12???22ddp22C(p,t)?p22?C(p,t)?EC(p,t)

15