量子力学习题答案

量子力学习题答案

1.2 在0k附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E?h?； p?h/?

由于所考虑的电子是非相对论的电子（Ek(3eV)??ec2(0.51?10?6)），故： E?P2/(2?e)

??h/p?h/2?eE?hc/?6?92?ecE62

?1.24?10?0.71?10/2?0.51?10?3 m?0.71nm1.3氦原子的动能是E=1.5kT，求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当T?1K时，其能量为 E?于是有

??h/p?h/2?HeE?3432kT?32?1.381?10?23J?K?1?1K?2.07?10?23J

?6.626?102?6.690?10?27J?s?23 ?1.26nmJkg?2.07?10

一维谐振子处于?(x)?Ae??2x/22状态中，其中?为实常数，求：

???1.归一化系数；2.动能平均值。（?解：1.由归一化条件可知：

???e??x22dx??/?）

??(x)?(x)dx??A2*????Ae2??x22dx?1

?/??1 取相因子为零，则归一化系数A??1/2/?1/4 2.

1

T??????222??x??(x)T?(x)dx?A?e*?????222/222??x/2?(P/2?)edx2?A2?e??x/2(?2?2?22d2dxddx)e??x22/2dx???2??2?2A22????e??x/2(??xe???2??x22/2)dx2/2???A{??xe???22??x22?????(??xe22??x22)dx}????2??2??2?22A?24?xe12?12?222??x22dx?22?2??A?(????2412?22)2?xd(e??x22)?A?(?24){?xe??x????e??xdx}??4?22＝A?(?24（)???）＝?A??4?22＝

若?＝???，则该态为谐振子的基态，T???4

解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H定理是

非常方便的。

一维谐振子的哈密顿量为：

? H???2?2d2dx?12??x22

它的基态能量E0?12??选择?为参量，则:

dE0d??12?；

?dHd??T???d2?dx?2?(??2d22?dx)?2?T?

0?dHd?0?2?

?0?dHd?0?2??T?12?

由F-H定理知： 可得：

dE0d??T?14??

2

2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： (1)?1?1reikr (2)?2?1re?ikr

从所得结果说明?1表示向外传播的球面波，?2表示向内(即向原点) 传播的

球面波。

?? 解：J1和J2只有r分量

?1??1? ?e??e??rr??rsin???

在球坐标中 ??r0???i?**(1) J1?(?1??1??1??1)2m ? ? ??? J1与r1ikr?1?ikr1?ikr?1ikr?[e(e)?e(e)]r02mr?rrr?rr[(?2?ik)?(?2?ik2mrrrrrr?k??k?r?r203mrmri?111111?)]r0i?

同向。表示向外传播的球面波。

*2?i?(2) J2?(?2??2m ? ?[e2mri?i?1?ikr??1*2??))?1reikr(e?rr?ikr(e?rr?1?ikr?)]r0

111111?[(?2?ik)?(?2?ik)]r02mrrrrrr?k??k? ??r??r203mrmr?? 可见，J2与r反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。

2.3 一粒子在一维势场

??，x?0? 0?x?a U(x)??0，??，x?a?中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S—方程

3

??2d222mdx?(x)?U(x)?(x)?E?(x)

在各区域的具体形式为 Ⅰ：x?0 ???2d222mdx2?1(x)?U(x)?1(x)?E?1(x) ①

Ⅱ： 0?x?a ?d2?2(x)?E?2(x) ②

2mdx22Ⅲ：x?a ??2 d2mdx2?3(x)?U(x)?3(x)?E?3(x) 由于(1)、(3)方程中，由于U(x)??，要等式成立，必须

?1(x)?0 ?2(x)?0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 2 方程(2)可变为d?2(x)dx2?2mE

?2?2(x)?0

令k2?2mE?2，得

d2

?2(x)2dx2?k?2(x)?0

其解为 ?2(x)?Asinkx?Bcoskx 根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得

?2(0)??1(0)

?2(a)??3(a) ⑤ ?B?0 ⑥?Asinka?0

?A?0?sinka?0

?ka?n? (n?1, 2, 3,?) ∴?n?2(x)?Asinax

4

③

⑤

⑥

④

由归一化条件

?(x)dx?1

?2?a得 A2?sin2n?axdx?1

0由 ?a0sinm?a2ax?sinn?axdx?a2?mn

?A?

2asinn?ax??2(x)? ?k2?2mE?2

22 ?En???2ma2n (n?1,2,3,?)可见E是量子化的。

2对应于En的归一化的定态波函数为

i?Ent?2n?sinxe?, 0?x?a? ?n(x,t)??a a? 0, x?a, x?a?2.5 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。 解： ?1(x)??2?2?2?xe?12?x22

22?1(x)??1(x)?4?2??x222??2??xe2??x

?2?3

?2??xe

d?1(x)dx3 ??[2x?2?x]e23??x22

令

d?1(x)dx ?0，得

1 x?0 x??? x???

x???时，?1(x)?0。 由?1(x)的表达式可知，x?0 ，显然不是最大几率的位置。

5