量子力学习题答案(2)

而 d?1(x)dx322 ?2?3

?4??22[(2?6?x)?2?x(2x?2?x)]e44??x2222223??x22

?[(1?5?x?2?x)]ed?1(x)dx22

x??1???64?31?e?0

可见x??1??????是所求几率最大的位置。

13.2.氢原子处在基态?(r,?,?)? (1)r的平均值； (2)势能?e2?a30e?r/a0，求：

r的平均值；

(3)最可几半径； (4)动能的平均值；

(5)动量的几率分布函数。 解：(1)r??r?(r,?,?)d?? ?4a3021?a30???00?2??0re?2r/a0rsin? drd? d?2

4a03??0ra3?2r/a0dr ?xne?axdx?0?n!an?1 ?3!?2????a??0?e4?32a0

2(2)U?(?re2)???e230??a2????00?2??1r0e?2r/a0rsin? drd? d?2???a4ea04e330???000e?2r/a0rsin? drd? d?

2????0e1?2r/a0r dre2

2??a0?2????a??0?32??a0

(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为

6

?(r)dr???0?2?0[?(r,?,?)]rsin? drd? d??224a30e?2r/a0rdr2

?(r)?d?(r)dr4a4a30e?2r/a0r2

令

d?(r)dr?30(2?2a0r)re?2r/a0

?0， ? r1?0, r2??, r3?a0

当 r1?0, r2??时，?(r)?0为几率最小位置

d?(r)dr2r?a02d?(r)dr22?4a30(2?8a0r?4a20r)e2?2r/a0

??8a30e?2?0

∴ r?a0是最可几半径。 (4)T??12??p2???222?2?2? ??2?1????rr(r2??r)?1?sin???(sin????)?1sin2??2????? T???2?22?2????00???10?a30e?r/a0?(e2?r/a0)rsin? drd? d?2

??2????00?10?a04?233e?r/a01dr2dr[r2ddr(e?r/a0)]rsin? drd? d?2

??2?a0240(?1a0??2?0(2r?r2a0)e?2r/a0 dr

?4?2?a(2a042a04)??2202?a

?(r)?(r,?,?)d? (5) c(p)???*p? c(p)?1(2??)3/2??10?a30e?r/a0rdr?e02??i?prcos?sin? d??i?prcos?2?0d?

?(2??)2?3/2?a30??0re2?r/a0dr?e0?? d(?cos?)

7

?(2??)2?3/2?a30??0re2?r/a0dri?iprpre?i??prcos?

0? ?(2??)2?3/2??a30ip?[?0re?r/a0(e??e?i?pr)dr ?xne?axdx?0n!an?1 ?(2??)2?3/2?1(1a0?i?p)2?a30ip?(11a0?i?p)2]

?12a0?ip?a?(0430324ip13a042?p?22

)2 ?a0?242a??a0(a0p??)22

?(2a0?)223/2?22?(a0p??)

动量几率分布函数

?(p)?c(p)?28a0?223524?(a0p??)

L23.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H?2I，L为角动

量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动：

解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有 L2?L2Z

??1L?2???d 哈米顿算符 HZ2I2Id??与t无关，属定态问题) 其本征方程为 (H222

??2d2222Id??(?)?E?(?) d?(?)d?2

??2IE?2?(?) 8

令 m2?2IE?2，则

d?(?)d?im?22?m?(?)?0

2 取其解为 ?(?)?Ae (m可正可负可为零)

由波函数的单值性，应有

?(??2?)??(?)?eim(??2?)?eim?

?1 即 e ∴m= 0，±1，±2，…

转子的定态能量为Em?m?2I22i2m? (m= 0，±1，±2，…)

可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为 ?m?Aeim?

A为归一化常数，由归一化条件

1??2?0?m?md??A*2?2?0d??A2?2

?A?12?

∴ 转子的归一化波函数为

?? m12?eim?

综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。 (2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为

?? H1?2L 2I?与t无关，属定态问题，其本征方程为 H

1?2LY(?,?)?EY(?,?) 2I?的本征函数，E为其本征值) (式中Y(?,?)设为H 9

?2Y(?,?)?2IEY(?,?) L 令 2IE???2，则有

?2Y(?,?)???2Y(?,?) L?2的本征方程，其本征值为 此即为角动量L L2???2??(??1)?2 (??0, 1, 2, ?) 其波函数为球谐函数Y?m(?,?)?N?mP?m(cos?)eim? ∴ 转子的定态能量为 E???(??1)?2I2

可见，能量是分立的，且是(2??1)重简并的。

3.6 设t=0时，粒子的状态为

coskx] ?(x)?A[sin2kx?12求此时粒子的平均动量和平均动能。

coskx]?A[1(1?cos2kx)?1coskx] 解：?(x)?A[sin2kx?1222 ?A2A2[1?cos2kx?coskx]

?[1?12(ei2kx?e?i2kx)?12(eikx?e?ikx)]

?A2??2[ei0x?12ei2kx?12e?i2kx?12eikx?12e?ikx]?12??

可见，动量pn的可能值为0 2k? ?2k? k? ?k? 动能

pn22?的可能值为0 2k?22?2 2k?22? k?2?22 k?2?22

A2 对应的几率?n应为 (A4 A216 A216 A216 16)?2??

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