数学建模 - 交通管理问题

实验十 交通管理问题

【实验目的】

1．了解微分方程的一些基本概念。

2．初步掌握微分方程模型建立、求解的基本方法和步骤。

3．学习掌握用MATLAB软件中相关命令求解常微分方程的解析解。

【实验内容】

在城市道路的十字路口，都会设置红绿交通灯。为了让那些正行驶在交叉路口或离交叉路口太近而又无法停下的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段时间的黄灯。对于一名驶近交叉路口的驾驶员来说，万万不可处于这样进退两难的境地：要安全停车但又离路口太近；要想在红灯亮之前通过路口又觉得距离太远。那么，黄灯应亮多长时间才最为合理呢？ 已知城市道路法定速度为v0，交叉路口的宽度为I，典型的车身长度统一定为L，一般情况下驾驶员的反应时间为T，地面的磨擦系数为?。（假设I＝9m，L＝4.5m，?＝0.2，

T＝1s）

【实验准备】

微分方程是研究函数变化过程中规律的有力工具，在科技、工程、经济管理、人口、交通、生态、环境等各个领域有着广泛的应用。如在研究牛顿力学、热量在介质中的传播、抛体运动、化学中液体浓度变化、人口增长预测、种群变化、交通流量控制等等过程中，作为研究对象的函数，常常要和函数自身的导数一起，用一个符合其内在规律的方程，即微分方程来加以描述。

1．微分方程的基本概念

未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。如果未知函数是一元函数，称为常微分方程。如果未知函数是多个变量的函数，称为偏微分方程。联系一些未知函数的多个微分方程称为微分方程组。微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。若方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程，一般表示为

y(n)＋a1(t)y(n?1)＋…＋an?1(t)y'＋an(t)y＝b(t) （1）

若（1）式中系数ai(t)（i＝1，2，…，n）均与t无关，称之为常系数（或定常、自治、时不变）的。

建立微分方程模型要根据研究的问题作具体的分析。一般有以下三种方法：

根据规律建模：在数学、力学、物理、化学等学科中已有许多经过实践检验的规律和定律，如牛顿运动定律、基尔霍夫电流及电压定律、物质的放射性规律、曲线的切线的性质等，这些都涉及某些函数的变化率。我们可以根据相应的规律，列出常微分方程。 微元法建模：利用微积分的分析法建立常微分方程模型，实际上是寻求一些微元之间的关系式，在建立这些关系式时也要用到已知的规律或定理。与第一种方法不同之处在于这里不是直接对未知函数及其导数应用规律和定理来求关系式，而是对某些微元来应用规律。 模拟近似法建模：在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的实践中，常常要用模拟近似法来建立微分方程模型。这是因为，上述学科中的一些现象的规律性我们还不是很清楚，

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即使有所了解也并不全面，因此，要用数学模型进行研究只能在不同的假设下去模拟实际的现象。如此模拟近似所建立的微分方程从数学上求解或分析解的性质，再去同实际情况作对比，观察这个模型能否模拟、近似某些实际的现象。

建立微分方程模型只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。

2．微分方程通解的求解方法 （1）初等积分法

有些微分方程可直接通过积分来进行求解。例如，一阶常系数线性常微分方程 y?＝ax＋b （a≠0） 可化为

dy＝dt

ay?b两边通过积分可得到通解y(t)为

y(t)＝Cexp(at)－ab

其中C为任意的常数。有些常微分方程可用一些技巧（如分离变量法、积分因子法、常数变易法、降阶法等）化为可积分的方程而求得解析解。

（2）常系数线性微分方程求解

线性常微分方程的解满足叠加性原理，从而它的求解可归结为求一个特解和相应齐次微分方程的解。一阶变系数线性常微分方程总可用这一思路来求得通解。高阶线性常系数微分方程可用特征根法求得相应齐次微分方程的基本解，再用常数变易法求特解。

例如，求x??＋0.2x?＋3.92x＝0的通解。 解：特征方程为 ?＋0.2?＋3.92＝0 在MATLAB命令框中输入命令

>> x=roots([1 0.2 3.92])% roots命令用来求多项式的根 求解得到一对共轭复根 x =

-0.1000 + 1.9774i -0.1000 - 1.9774i

从而该微分方程的通解x(t)为

?0.1t x(t)＝Aet) cos(1.9774t)＋Be?0.1tsin(1.97742?1其中A、B为任意的常数。

一阶常微分方程组与高阶常微分方程可以互化，已给一个n阶方程

y(n)(n?1)＝f（t，y，y?，…，y （2） ）(n?1)设y1＝y，y2＝y?，…，yn＝y，（2）可化为一阶方程组

?＝y2 y1?＝y3 y2 … （3） ??1＝yn yn?＝f（t，y1，y2，…，yn) yn反过来，在许多情况下，一阶微分方程组也可以化为高阶方程。所以一阶常微分方程组与高

阶常微分方程的理论与方法在很多方面是相通的。一阶常系数线性微分方程组也可用特征根法进行求解。

3．求微分方程（组）通解的MATLAB命令

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求解微分方程（组）的解析解用函数dsolve。 r = dsolve( 'eq1, eq2', ... , 'cond1, cond2' , ... , 't' )； 其中eq1、eq2等表示方程1、方程2等，cond1、cond2等表示初始条件，均用字符串方式表示，自变量的缺省值为t； 微分方程和初始条件中，导数用字符D表示，D2、D3分别表示2阶、3阶导数，并以此类推； r返回所求得的解析解，如果是方程组，则r的结构是一个向量的形式； 可以用help dsolve查阅有关该命令的详细信息。 【实验方法与步骤】

1．dsolve命令的基本用法 下面以例题来予以说明：

例1 求高阶方程y??＝cos(2x)－y，y(0)＝1，y?(0)＝0的通解

输入命令：

>> r=dsolve('D2y=cos(2*x)-y','y(0)=1','Dy(0)=0','x') r =

(1/2*sin(x)+1/6*sin(3*x))*sin(x)+(1/6*cos(3*x)-1/2*cos(x))*cos(x)+4/3*cos(x) >> r=simple(r)% 对r进行合并、分解化简 r =

-1/3*cos(2*x)+4/3*cos(x) 例2 求天微分方程组的通解 dx dt＝2x－3y＋3z ＝4x－5y＋3z ＝4x－4y＋2z

dydtdt dz>> [x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z'); >> x=simple(x) x =

-(-C1-C2*exp(-3*t)+C2-C3+C3*exp(-3*t))*exp(2*t) >> y=simple(y) y =

-(C1*exp(-4*t)-C1-C2*exp(-4*t)-C2*exp(-3*t)+C2-C3+C3*exp(-3*t))*exp(2*t) >> z=simple(z) z =

(-C1+exp(4*t)*C1-C2*exp(4*t)+C2+exp(4*t)*C3)*exp(-2*t)

2．引例问题的分析与求解

首先，我们用模拟近似法对引例问题进行分析建模。

对于驶近交叉路口的驾驶员，在他看到黄色信号后要做出决定：是停车还是通过路口。如果他以法定速度（或低于法定速度）行驶，当决定停车时，他必须有足够的停车距离。当驾驶员决定通过路口时，必须有足够的时间让他能完全通过路口。这包括做出停车决定的反应时间以及通过停车所需的最短距离的驾驶时间，能够很快看到黄灯的驾驶员可以利用刹车距离将车停下来。

于是，黄灯状态所应持续的时间包括驾驶员的反应时间，他通过交叉 …… 此处隐藏：2755字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……