中国石油大学物理答案15章习题详细答案 03(2)

?Irr2B12?r??0I2 即B1?02

2?RRr≥R时： ?B2?dl??0I B22?r??0I 即B2??0I 2?r当假想平面的内边界离OO?轴x时

R?IR?x?I?0Il12?0IlR?x200??????r?l?dr??l?dr?R?x?ln ?R2?r2x2?R222?R2?R?Il?Ild?1令???0 ? ??02?2x?0??0

dx4?R2?x?Rx1?5?15?1R x2??R(舍) 22??0Il?0Il?d2?对?求二阶导数 <0 ????222?dx2??x?R????2?R?因此x1?5?1R时，有最大值。 2即：平面的内边界离OO?轴

5?1R时，有最大值。 215-15．将一均匀分布着面电流的无限大载流平面放入均匀磁场中，已知平面两侧的磁感应强度分别为B1和B2(如习题15-15图所示)。求载流平面上单位面积所受磁场力的大小和方向。

[解] 由图可知，B2>B1，说明载流平面的磁场B的方向与所放入的均匀磁场B0的方向在平面右侧是一致的，在平面左侧是相反的，进而说明平面上电流方向是垂直于纸面向内。设面电流密度为j。则

1B1?B0－B?B0??0j

21B2?B?B0?B0??0j

2由此二式解得B0?1?B1?B2? ， j?1?B2?B1?

?02在载流平面上沿电流方向取长为h、宽为dl的条形面积，面积dS=hdl，面积上电流dI=jdl，

此电流受到的磁力大小为

dF?BhdI?Bjhdl?BjdS

载流平面单位面积所受磁力大小为

dF112?Bj?B2?B1B2?B1?B2?B12 dS2?02?0??????方向为垂直于平面向左。

15-16．电流为I2的等边三角形载流线圈与无限长直线电流I1共面，如习题15-16图所示。求：(1)载

流线圈所受到的总的磁场力；(2)载流线圈所受到的磁力矩(通过点c并垂直于纸面方向的直线为轴)。

[解] ab边到长直导线的距离为d，电流I1在ab边上的磁场为

B??0I1 2?d方向垂直纸面向内。此磁场对ab边的作用力为

Fab?I2Bl?方向向左。

?0I1I2l 2?d?0I1， dl受2?x在ac边上任取一dl,设dl到I1的距离为x，则I1在dl处产生的磁场为B?到的磁力dF?I2dl?B，又因为dl?B

所以dF?I2dlB??0I1I2dx，

2?xcos300所以Fac??d?3l2d?0I1I2dx?0I1I23l?ln(1?)，方向如图所示。

2d3?x3?同理，可求得Fbc?Fac，方向如图所示。 则线圈受到的合力为：

?Fy?0，

?Fx?Fab?Facx?Fbcx???0I1I2??l13l??ln(1?)? ?2d?3?2d?II因此线圈所受的磁场力大小为012??l13l?ln(1?)?，方向沿x轴负向。 ??2d2d3??（2）因为dPm?IdSn n的方向垂直直面向外 所以dPm∥//B

又因为dM?dPm?B，所以dM?0，所以M?0

15-17．半径为a、线电荷密度为? (常量)的半圆，以角速度?绕轴O?O?匀速旋转，如习题15-17图所示。求：(1)在点O产生的磁感应强度B；(2)旋转的带电半圆的磁矩Pm。

[解] （1）把半圆分成无数个小弧每段带电量dq???dl??ad?

旋转后形成电流元dI?n?dq?由圆环B???a?dq?d? 2?2?2R?x??0IR22232?s 得 R?asin? x?aco?dB?2a2?sin2??a2?cos2???0a2?sin2??dI?32??0a2?sin2?2a3dI??0??2sin?d?4?

?0??2??? 方向向上 sin?d??004?8??a3sin2?22d? （2）因为Pm?ISn， dPm?SdI??asin?dI?B??dB???2Pm?????a3sin2?20d????a32?0sin?2?d?????a34，方向向上。

15-18．有一均匀带电细直棒AB，长为b，线电荷密度为?。此棒绕垂直于纸面的轴O以匀角速度?转动，转动过程中端A与轴 O的距离a保持不变，如习题15-18图所示。求：(1)点O的磁感应强度B；(2)转动棒的磁矩Pm； (3)若a>>b，再求B和Pm。

[解] (1)均匀带电直棒AB绕O轴旋转，其结果等效于载流圆盘。在均匀直棒上取一微元

dq??dr,等效电流为：dI?它在O点的磁感应强度

dq????dr 2?2?dB????0dr

2r4?r???0a?bdr??0?a?bB??dB0??ln（??0，方向垂直纸面向里） ?a4?r4?a??0dIOAa1(2)dpm??r2dI???r2dr

2a?b1pm??dpm????r2dr

a2dqb?B???[(a?b)3?a3]/6（??0，方向垂直纸面向里）

(3)若a>>b，则有：

ln???b?0?qa?bb(?) ?，B?04?a4?aaa与带电粒子q??b情况相同

a??b时,(a?b)3?a3(1?3b/a),则有

pm???6a33b11??b?a2(?q?a2) a22与点电荷的磁矩相同

（??0，方向垂直纸面向里）

15-19. 一平面圆盘，半径为R，表面面电荷密度为?。设圆盘绕其中心轴转动的角速度为?，匀强磁场B的方向与转轴的夹角为?，试求圆盘所受的力矩。

解：在半径为r处取宽度为dr的圆环，其等效电流为：

ω

B ?r dI???rdr

其磁矩为

dPm???rdr??r2en dM?dpm?B

dM???rdr??r2Bsin?R

1M?????r3Bsin?dr????Bsin?R4

04

15-20．有一个无限长直圆筒形导体，导体和空腔半径分别为R2和R1，它们的轴线相互平行，两轴线间的距离为a(R2>a+ R1>2 R1)，如习题15-20图所示。电流I沿轴向流动，在横截面上均匀分布。求两轴线上任一点的磁感应强度。

[解] 根据叠加原理，此系统可看作由半径为R2，其上电流密度为j?I的实心导体，与半径为R1的，电流2?R2?R12??密度为-j的实心导体所构成的。

设j沿z轴正方向，根据安培环路定理，半径为R2电流均匀分布的导体，在O点产生的磁场为0，而半径为R1电流均匀分布的导体，在O点产生的磁场为

?0?R12j?0?R12?0IR12I，BO???22222?a2?a?R2?R12?R2?R1a????垂直于轴线向外

BO''?BR2O''?BR1O''

由环路定理：BR2O''??0Ia22?(R2?R12)

B所以，B

R1O''?0

O''?BR2O''??0Ia22?(R2?R12)，方向垂直于轴线向里。