中国石油大学物理答案15章习题详细答案 03

习题15

15-3 求习题15-3各图中点P处磁感应强度的大小和方向。

1 2 I (a) a 1 2 I I I P ? a (c)

? P r P ? r I (b) 习题15-3图

[解] (a) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：

?0I?cos?1?cos?2? 4?a?I?对于导线1：?1?0，?2?，因此B1?0

4?a2B?对于导线2：?1??2??，因此B2?0

Bp?B1?B2??0I 4?a方向垂直纸面向外。

(b) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：

?0I?cos?1?cos?2? 4?a?I?I?对于导线1：?1?0，?2?，因此B1?0?0，方向垂直纸面向内。

24?a4?r?I?I?对于导线2：?1?，?2??，因此B2?0?0，方向垂直纸面向内。

24?a4?rB?半圆形导线在P点产生的磁场方向也是垂直纸面向内，大小为半径相同、电流相同的

圆形导线在圆心处产生的磁感应强度的一半，即

1?0I?0I，方向垂直纸面向内。 ?22r4r?I?I?I?I?I所以，Bp?B1?B2?B3?0?0?0?0?0，方向垂直纸面向内。

4?r4?r4r2?r4rB3?(c) P点到三角形每条边的距离都是

d?3a 6?1?30o，?2?150o

每条边上的电流在P点产生的磁感应强度的方向都是垂直纸面向内，大小都是

B0??0I?cos300?cos1500??3?0I 4?d2?a9?0I 2?a故P点总的磁感应强度大小为

B?3B0?方向垂直纸面向内。

15-4 在半径为R和r的两圆周之间，有一总匝数为N的均匀密绕的平面线圈，通有电流I，方向如习

题15-4图所示。求中心O处的磁感应强度。

[解] 由题意知，均匀密绕平面线圈等效于通以 NI圆盘，设单位径向长度上线圈匝数为n

ROI

N n?R?r建立如图坐标，取一半径为x厚度为dx的 圆环，其等效电流为:

rxdxdI?ndx?dB0?NIdx R?r??0dI2x?0NIdx2x(R?r)R

所以B0??dB0??NI?0NIdx2x(R?r)r??0NI2(R?r)lnR r方向垂直纸面向外。

15-5电流均匀地流过一无限长薄壁半圆筒，设电流I=5.0A，圆筒半径 R=1.0?102m如习题15-5图所示。

求轴线上一点的磁感应强度。

[解] 把无限长薄壁半圆筒分割成无数细条，每一细条可看作一无限长直导线，取一微元dl

dl则dI?I

?R则dl在O点所产生的磁场为

?dI?IdldB?0?022

2?R2?R又因，dl?Rd?

?dI?Id?所以，dB?0?02

2?R2?RdBx?dBcos?，dBy?dBsin?

dl??yxdB半圆筒对O点产生的磁场为： 根据对称性，Bx??dBx?0，By??dBy??0I ?2R所以B只有y方向分量，即B?By??0I，沿y的负方向。 ?2R15-6 矩形截面的螺绕环，尺寸如习题15-6图所示，均匀密绕共N匝，通以电流I，试证明通过螺绕环

截面的磁通量为 ???0NIhlnD12?D2

[证明] 建立如图所示坐标，在螺绕环横截面上任取一微元dS?hdx

以与螺绕环同心的圆周为环路，其半径为r，

D2D ?r?1，

22?B?dl?2?rB??0NI

B??0NI 2?rdΦ?BdS 所以

??d??BdS????DD122?0NI?hNID1hdr?0ln

22?r2?D2习题15-6图

15-7长直导线aa?与半径为R的均匀导体圆环相切于点a，另一直导线bb?沿半径方向与圆环接于点b，

如习题15-7图所示。现有稳恒电流I从端a流入而从端b流出。 (1)求圆环中心点O的B；(2)B沿闭合路径L的环流B?dl等于什么?

?Laa?12R?O12003b4b?

[解] (1)B0?B1?B2?B3?B4 其中: B4?0 B1? B2??0I 4?R2?0I21?0I3I2l3? ,,B3?Il232R32R3故B2与B3大小相等,方向相反,所以B2?B3?0 因而B0?B1??0I,方向垂直纸面向外. 4?R2II)??0 33Y I1 I2 O 45? 45? X (2)由安培环路定理,有:

?B?dl??0?Ii??0(I?L15-8．如习题15-8图所示，半径为R的1/4圆弧线圈通有电流I2，置于电流为I1的无限长直线电流的磁场中，直线电流I1恰过圆的直径，求圆弧受到长直线电流I1的磁场力。

解：在I2上任取以电流元I2dl，与x轴的夹角为?，则电流元所受到的磁力为：

习题15-8图

dF?I2Bdl???0I1I2Bdl2?x

?0I1I2BRd?2?Rcos??IIB?012d?2?cos?方向沿O点与电流元的连线。 根据对称性可知，Fy=0

?F?Fx??dF??4??4??0I1I2B4?0I1I2Bcos?d?2?cos?

因此所受的磁力为

?0I1I2B4，沿x轴的正方向。

15-9．磁场中某点处的磁感应强度B?0.40i?0.20jT，一电子以速度v?0.5?106i?1.0?106jm?s?1通过该点。求作用在该电子上的磁场力。

[解] 由洛仑兹力公式,有

F?qv?B??1.6?10?19ijk0.51.00?106?8?10?14kN 0.4?0.2015-10．在一个圆柱磁铁N极正上方，水平放置一半径为R的导线圆环，如习题15-10图所示，其中通有顺时针方向(俯视)的电流I。在导线处的磁感应强度B的方向都与竖直方向成?角。求导线环受的磁场力。

[解] 圆环上每个电流元受力为dF?Idl?B

将B分解为z分量和径向分量：B?Bz?Br Bz?Bcos?，Br?Bsin?

所以 dF?Idl??Bz?Br??Idl?Bz?Idl?Br dFz?Idl?Br dFr?Idl?Bz

对于圆环?dFr?0 圆环所受合力为

2?F?Fz?IBr?dl?IBsin??Rd??2?RIBsin?，方向

0沿z轴正向。

15-11．如习题15-11图所示，空心圆柱无限长导体内外半径分别为a和 b，导体内通有电流I，且电流在横截面上均匀分布。求证导体内部(a

B?2?b2?a2??0I?r2?a2 r [解] 作图示的安培环路有

?LB?dL??0?Ii

因为导体电流在横截面上均匀分布，所以j?I

?b2?a2??即

?LB?dL??0j?(r2?a2)

?0I(r2?a2)所以 B?

2?(b2?a2)r15-12．一圆线圈的半径为R，载有电流I，置于均匀磁场中，如习题15-12图所示。在不考虑载流线圈本身激发的磁场的情况下，求线圈导线上的张力的大小(已知线圈法线方向与B的方向相同)。

?Tl?T?F

[解] 取半个圆环为研究对象,受力如图所示,由平衡条件,有:2T?F，半圆所受到的磁力F等效于长为2R的载流直导线，在磁场中受力：

F?BIl?2BIR

所以T?FBIl??BIR 2215-13．厚为2d的无限大导体平板，其内有均匀电流平行于表面流动，电流密度为j，求空间磁感应强度的分布。

[解] 建立如图所示的坐标系

对板内，取安培环路abcd 则

ya?d?B?LB?dL?2Bl??02xlj

adbb?c?x所以 B??0jx

对板外,取安培环路a?b?c?d?,则有:

c?LB?dL??0I

即 2Bl???0jl?2d 所以B??0jd

方向：在平板对称面的左则沿竖直向上，在对称面的右侧沿竖直向下。

15-14．一根半径为R的长直导体圆柱载有电流I，作一宽为 R长为l的假想平面S，如习题15-14图所示。若假想平面S可在导体直径和轴OO?所确定的平面内离开OO?轴移动至远处，试求当通过面S的磁通量最大时平面S的位置(设直导线内电流分布是均匀的)。

x[解] r≤R时：?B1?dl??0I???0I?r2 2?R