2014年高考数学（理）真题分类汇编：D单元 数列(2)

由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B. ∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)， ∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．

(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac. 由余弦定理得

a2＋c2－b2a2＋c2－ac2ac－ac1

cos B＝＝≥＝，

2ac2ac2ac2当且仅当a＝c时等号成立， 1

∴cos B的最小值为.

2

15．、[2014·天津卷] 设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．

111．－

2

216，，[2014·重庆卷] 设a1＝1，an＋1＝an－2an＋2＋b(n∈N*)． (1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．

(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1.

从而{(an－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(an－1)2＝n－1，即an＝n－1＋1(n∈N*)． 方法二：a2＝2，a3＝2＋1.

可写为a1＝1－1＋1，a2＝2－1＋1，a3＝3－1＋1.因此猜想an＝n－1＋1. 下面用数学归纳法证明上式． 当n＝1时，结论显然成立．

假设n＝k时结论成立，即ak＝k－1＋1，则

ak＋1＝（ak－1）2＋1＋1＝（k－1）＋1＋1＝（k＋1）－1＋1， 这就是说，当n＝k＋1时结论成立． 所以an＝n－1＋1(n∈N*)．

(2)方法一：设f(x)＝（x－1）2＋1－1，则an＋1＝f(an)．

1

令c＝f(c)，即c＝（c－1）2＋1－1，解得c＝.

4

下面用数学归纳法证明命题 a2n1

当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝2－1，所以a2<

4

假设n＝k时结论成立，即a2kf(1)＝a2，即 1>c>a2k＋2>a2.

再由f(x)在(－∞，1]上为减函数，得c＝f(c)

故c

1

综上，存在 c＝使a2n4

方法二：设f(x)＝（x－1）2＋1－1，则an＋1＝f(an)． 先证：0≤an≤1(n∈N*)． ① 当n＝1时，结论明显成立．

假设n＝k时结论成立，即0≤ak≤1. 易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f(1)≤f(ak)≤f(0)＝2－1<1.

即0≤ak＋1≤1.这就是说，当n＝k＋1时结论成立．故①成立． 再证：a2n

当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(a2)＝f(0)＝2－1，所以a2f(a2k＋1)＝a2k＋2， a2(k＋1)＝f(a2k＋1)

这就是说，当n＝k＋1时②成立．所以②对一切n∈N*成立． 由②得a2n

22

即(a2n＋1)

1

因此a2n<. ③

4

又由①②及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得f(a2n)>f(a2n＋1)，即a2n＋1>a2n＋2.

1

所以a2n＋1>a2－2a＋2－1，解得a>. ④ ＋＋＋2n12n12n1

4

1

综上，由②③④知存在c＝使a2n4

D3 等比数列及等比数列前n项和 14[2014·重庆卷] 对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( ) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9，成等比数列 2．D

18、[2014·安徽卷] 数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.

12．1 19．、[2014·广东卷] 若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．

13．50 20．[2014·全国卷] 等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于( ) A．6 B．5 C．4 D．3 10．C 18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式．

(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

18．解：(1)设数列{an}的公差为d，

依题意得，2，2＋d，2＋4d成等比数列， 故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，

化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4. 当d＝0时，an＝2；

当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2.

从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2. (2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n<60n＋800， 此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立．

n[2＋（4n－2）]

当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2.

2

22

令2n>60n＋800，即n－30n－400>0， 解得n>40或n<－10(舍去)，

此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41. 综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；

当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41. 17．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.

1??

(1)证明?an＋2?是等比数列，并求{an}的通项公式；

??1113

(2)证明＋＋…＋＜.

a1a2an2

11

an＋?. 17．解：(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3?2?2?

1?13?313n

又a1＋＝，所以?an＋2?是首项为，公比为3的等比数列，所以an＋＝，因此数

22222??

3n－1

列{an}的通项公式为an＝.

212

(2)证明：由(1)知＝n. an3－1

－

因为当n≥1时，3n－1≥2×3n1，

11121所以n≤≤n－1. n－1，即＝nan3－133－12×3

13111113

1－n?<. 于是＋＋…＋≤1＋＋…＋n－1＝?a1a2an32?3?23

1113所以＋＋…＋<.

a1a2an219．，，[2014·山东卷] 已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝(－1)n

－1

4n

，求数列{bn}的前n项和Tn. anan＋1

2×1

19．解： (1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2，

24×3

S4＝4a1＋×2＝4a1＋12，

2

由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1， 所以an＝2n－1. (2)由题意可知， bn＝(－1)n＝(－1)n

－1

4n

anan＋1

－14n

（2n－1）（2n＋1）

11－

＝(－1)n1?2n－1＋2n＋1?.

??

当n为偶数时，

11??11?111

＋＋1＋?－?＋?＋…＋?Tn＝?－?3??35??2n－32n－1??2n－12n＋1? 1

＝1－

2n＋1＝2n

. 2n＋1

当n为奇数时，

11??11?111

＋＋1＋?－?＋?＋…－?Tn＝?＋2n－32n－12n－12n＋1 ?3??35?????

1

＝1＋

2n＋1＝2n＋2

. 2n＋1

n－1

2n＋2??2n＋1，n为奇数，?2n＋1＋（－1）

所以T＝??或T＝2n＋1?2n

，n为偶数.??2n＋1

n

n

?

??

16．，，[2014·陕西卷] △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)； (2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值． 16．解：(1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b. 由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B. ∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)， ∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．

(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac. 由余弦定理得

a2＋c2－b2a2＋c2－ac2ac－ac1

cos B＝＝≥＝，

2ac2ac2ac2当且仅当a＝c时等号成立， 1

∴cos B的最小值为.

2

11．、[2014·天津卷] 设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．

111．－

2

19．、、[2014·天津卷] 已知q和n均为给 …… 此处隐藏：3079字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……