高等数学下册试卷及答案(4)

2、在柱面坐标系中

F(t)?所以

?2?0t132?2?[hf(r)r?hr]dr d??dr?[z?f(r)]rdz?0003th22dF11?2?[hf(t2)t?h3t]?2?ht[f(t2)?h2] dt33?五、1、连接OA，由Green公式得：

I??L??OA??OA??L?OA??OA

Green公式?x2?y2?ax,y?0xx(ecosy?ecosy?m)dxdy?0 ??1?m?a2 82、作辅助曲面?1:? I??z?a?x?y?a???1222 ，上侧，则由Gauss公式得：

??+????122???=

?1?????

?1 =

x?y?z,0?z?a???22(x?y?z)dxdydz?2x?y?a??a22dxdy

2 =2?a0dzax2?y2?z2??zdxdy??a4

?2?0?z3dz??a4???a4

2x12六、由题意得：3??(x)?2?(x)?xe????(x)

即???(x)?3??(x)?2?(x)?xe 特征方程r?3r?2?0，特征根r1?1,对应齐次方程的通解为：y?c1e?c2e

*2x又因为??2是特征根。故其特解可设为：y?x(Ax?B)e

x2x22xr2?2

代入方程并整理得：A?即 y?*1,2B??1

1x(x?2)e2x 2x2x故所求函数为：?(x)?c1e?c2e?1x(x?2)e2x 2高等数学（下册）考试试卷（三）参考答案

一、1、yey2z2?xex2z2； 2、5； 3、

?1?1dx?1?x2?1?x2dy?1?x2?y20f(x,y,z)dz；

4、f(0,0); 6、???(5、2?a3；

??P?Q?R ??)dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy，

?x?y?z???Gauss公式； 7、Ax2?Bx?C 8、P?0。

二、1、C； 2、B； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B 三、由于dy?fx?(x,t)dx?ft?(x,t)dt，Fx?dx?Fy?dy?Ft?dt?0

由上两式消去dt，即得：

dyfx??Ft??ft?Fx? ?dxFt??ft?Fy?四、设(x,y)为椭圆x2?4y2?4上任一点，则该点到直线2x?3y?6?0的距离为

d?6?2x?3y13 ；令L?(6?2x?3y)2??(x2?4y2?4)，于是由：

?Lx??4(6?2x?3y)?2?x?0? ?Ly??6(6?2x?3y)?8?y?0 ?22L?x?4y?4?0??83838383得条件驻点：M1(,),M2(?,),M3(?,?),M4(,?)

35555555 依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中dmin?6?2x?3y13M1?13即为所求。 1322??z?x?y五、曲线?在yoz面上的

22??x?y?2y?z2?2y投影为??x?0(0?y?z)

于是所割下部分在yoz面上的投影域为：

??0?y?2Dyz:?， y ??0?z?2y由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。 A?2Dyz??1?(?x2?x)?()2d? x ?y?z ?2Dyz??dydz2y?y2?2?dy?122y0dz2y?y2?8

2222六、将?分为上半部分?1:z?1?x?y和下半部分?2:z??1?x?y，

?1,?2在面xoy上的投影域都为：Dxy:x2?y2?1,x?0,y?0, 于是：

??xyzdxdy????1Dxy1?x2?y2dxdy

1； 15极坐标

???02d???2sin?cos??1??2??d??0122??xyzdxdy???xy(?1?x?y)(?dxdy)??2Dxy1， 15 ?I????1???=

?22 15七、因为

df(cosx)?1?sin2x，即f?(cosx)?1?sin2x

d(cosx)13x?c 322 所以f?(x)?2?x ?f(x)?2x?2八、?f(x)?ln[(1?x)(1?x)]?ln(1?x)?ln(1?x)

(?1)n?1n 又ln(1?u)??u,u?(?1,1]

nn?1?(?1)n?1n?(?1)n?12nx??x,x?(?1,1] ?f(x)??nnn?1n?1?(?1)n?1n ??x(1?xn),nn?1?x?(?1,1]

高等数学（下册）考试试卷（四）参考答案

一、1、dx?2dy；2、x?2y?3z?6； 3、

?x6、?a； 7、y?2(2?x)e；

1532?； ； 4、32?； 5、

2022338、a0?????1?f(x)12dx；ak??2??f(x)coskxdx??k?1,2,?n,?

bk?1???f(x)sinkxdx??k?1,2,?n,?

二、1、C； 2、C； 3、A； 4、D； 5、A； 6、B； 7、A； 8、C 三、??uxyyy?f?()?g()?g?() ?xyxxxy2y?2u1xyyyy ?2?f??()?2g?()?2g?()?3g??()

xxyyxx?xxxy2y1xf??()?3g??() ?

xyyxyy?2uxx1y1y ??2f??()?g?()?g?()?2g??()

xx?x?yyxxxxy ??yyxx?????g() f()xx2yy2?2u?2u 故x2?y?0

?x?y?x四、设M(x0,y0,z0)是曲面F?xyz?c?0上的任意点，则x0y0z0?c3，

在该

3n?(Fx?,Fy?,Fz?)M111c3c3c3?(y0z0,z0x0,x0y0)?(,,)?c3(,,)

x0y0z0x0y0z0111(x?x0)+(y?y0)+(z?z0)=0

y0x0z0于是曲面在M点处的切平面方程为：

即

xyz++=1 3x03y03z01993x0?3y0?3z0?x0y0z0?c3 622因而该切平面与三坐标面所围成的立体的体积为：

V?这是一个定值，故命题得证。

2222五、由于介于抛物面z?4?x?y，柱面(x?1)?y?1及平面z?0之间的立体体积

22为定值，所以只要介于切平面?，柱面(x?1)?y?1及平面z?0之间的立体体积V为最大即可。

设?与z?4?x?y切于点P(x0,y0,z0)，则?的法向量为n?(2x0,2y0,?1)，且

2222z0?4?x0?y0，切平面方程为：2x0(x?x0)?2y0(y?y0)?(z?z0)?0 22 即z?2x0x?2y0y?4?x0 ?y0? 于是V?(x?1)2?y2?1??zd?极坐标?2??222?（2x0?cos??2y0?sin??4?x0?y0)d?

22 ??(2x0?4?x0?y0)

??V??x??(2?2x0)?0?0 则由?，得驻点（1，0）

??V??2?y0???y0 且V(1,0)?5?,z0?5.

由于实际问题有解，而驻点唯一，所以当切点为（1，0，5）时，题中所求体积为最小。此时的切平面?为：z?2x?3 六、联接BA，并设由L及BA所围成的区域为D，则

I??L??BA2??BA??L?BA??BAGreen公式???(excosy?1?excosy?1)dxdy?0D ?2???2?4? 七、令y??z(y)，则y???z12dzdz22?z?0 ，于是原方程可化为：zdy1?ydy2??dydz21?y??0，其通解为z?c1e 即?c1(y?1)2 dy1?y ?dydy?c1(y?1)2 即?c1dx 2dx(y?1)故原方程通解为：y?1?1

c1x?c2八、易求得该幂级数的收敛区间为(?1,1).

??1xnxn?x?(?1,1)，令S(x)??，则S?(x)??()???xn?1?

1?xnnn?1n?1n?1?注意到S(0)?0，?S(x)??x0S?(x)dx??dx??ln(1?x) 01?xx