复变函数论 - 期末复习题 2(3)

6、利用留数定理计算积分：?2?dxa?cosx，0(a?1).

《复变函数》考试试题（八）

一、判断题

1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续.（ ）

2、若函数f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0处解析.（ ） 3、如果z0是f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在.（ ）

z?z05、若函数f(z)是区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数.（ ）

6、若函数f(z)是单连通区域D内的每一点均可导，则它在D内有任意阶导数.（7、若函数f(z)在区域D内解析且f?(z)?0，则f(z)在D内恒为常数.（ ） 6. sinz是一个有界函数.（ ） 二、填空题 1、若zn?2nn?1?n?i(1?1n)，则limzn?___________. 2、设f(z)?lnz，则f(z)的定义域为____________________________. 3、函数sinz的周期为______________. ??5、幂级数?nzn5的收敛半径为________________.

n?06、函数f(z)?11?z2的幂级数展开式为______________________________.

7、若C是单位圆周，n是自然数，则?1C(z?zdz?______________.

0)n8、函数f(z)?z的不解析点之集为__________. 9、若f(z)?11?z2，则f(z)的孤立奇点有_________________.

三、计算题 1、求??11dzz?1ezsinzdz?2?i?z?3(z?1)(z?4)

22、设f(z)??3??7??1C??zd?，其中C??z:z?3?，试求f?(1?i).

11

） 3、设f(z)?ezz2?1，求Res(f(z),?).

4、求函数

12z?zz?15、求复数w?的实部与虚部.

z?1

的罗朗展式.

《复变函数》考试试题（九）

一、判断题

1、若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.（ ）

2、若函数f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0处解析.（ ） 3、如果z0是f(z)的极点，则limf(z)一定存在且等于无穷大.（ ）

z?z04、若函数f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有?f(z)dz?0.

C（ ）

5、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数.（ ） 6、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某一条曲线上恒为常数，则f(z)在区域D内恒为常数.（ ）

7、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是二、填空题

1f(z)的m阶极点.（ ）

2?i(1?)n，则limzn?___________. 1?nn12、设f(z)?，则f(z)的定义域为____________________________.

sinz3、函数sinz的周期为______________.

1、若zn?sin4、sinz?cosz?_______________.

5、幂级数?nz的收敛半径为________________.

nn?0??1226、若z0是f(z)的m阶零点且m?1，则z0是f?(z)的____________零点. 8、函数f(z)?z的不解析点之集为__________.

12

10、Res(ezz2?1,1)?_________________.

三、计算题

n1、lim?2?i?n????6?? 22、设f(z)??3??7??1C??zd?，其中C??z:z?3?，试求f?(1?i).

3、设f(z)?ezz2?1，求Res(f(z),?i).

4、求函数

z(z?1)(z?2)在1?z?2内的罗朗展式.

3、 求复数w?z?1z?1的实部与虚部.

《复变函数》考试试题（十）

一、判断题

1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导.（ ） 2、如果z0是f(z)的本性奇点，则limzf(z)一定不存在.（ ）

z?03、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.（4、cosz与sinz在复平面内有界.（ ）

5、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点.（ ） 6、若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件，则f(z)在z0解析.（ ） 7、若limz?zf(z)存在且有限，则z0是函数的可去奇点.（ ）

08、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有?Cf(x)dz?0.（9、若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数.（ ） 二、填空题：

1、函数ez的周期为_________________.

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） ）

2、幂级数?nz的和函数为_________________.

nn?0??3、设f(z)???n1z?12，则f(z)的定义域为_________________.

4、?nz的收敛半径为_________________.

n?0三、计算题（40分）： 1、?zz(9?z2)(z?i)eiz1?z2dz.

2、求Res(,?i).

n?1?i??1?i?3、?????.

?2??2?4、设u(x,y)?ln(x?y). 求v(x,y)，使得f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为解析函数，且满足

22nf(1?i)?ln2。其中z?D（D为复平面内的区域）.

《复变函数》考试试题（十一）

一、判断题.（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，） 1．当复数z?0时，其模为零，辐角也为零. （ ） 二、填空题.

1．i?i?i?i?i? _____________________. 3．函数w?4234561z将z平面上的曲线(x?1)?y?1变成w平面上的曲线______________.

4224．方程z?a?0(a?0)的不同的根为________________. 5．(1?i)___________________.

8．函数f(z)?6sinz?z(z?6)的零点z?0的阶数为_____________________. 9．设a为函数f(z)?336i?(z)的一阶极点，且?(a)?0,?(a)?0,??(a)?0，则?(z)Resz?af?(z)f(z)?_____________________.

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三、计算题 1．设u(x,y)?121满足f(1?i)?ln2.其中z?D（D为复平面内的区域）.

21z?1ln(x2?y2)。求v(x,y)，使得f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为解析函数，且

2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）. （1） tanz； （2）3．计算下列积分. （1）

2eez?1.

?2?d?1?cos?0 .

《复变函数》考试试题（十二）

二、判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，）

1．设复数z1?x1?iy1及z2?x2?iy2，若x1?x2或y1?y2，则称z1与z2是相等的复数。（ ）

2．函数f(z)?Rez在复平面上处处可微。 （ ）

223．sinz?cosz?1且sinz?1,cosz?1。 （ ）

二、填空题。

1．i?i?i?i?i? _____________________。 2．设z?x?iy?0，且???argz??,?23456?2?y?arcta?n，当x?0,y?0时，

x2arg?yarcta?n________________。

x1x2?y)?iy(1?21x2?y2则其关于变量z的表达式为__________。 )，

3．若已知f(z)?x(1?5．若lnz?6．??2i，则z?_______________。

dzz?1z?________________。

2467．级数1?z?z?z??的收敛半径为________________。 10．设a为函数f(z)的n阶极点，则Resz?af?(z)f(z)?_____________________。

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