复变函数论 - 期末复习题 2(2)

《复变函数》考试试题（四）

一. 判断题.

1. 若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件. （ ） 2. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. （ ） 3. 函数sinz与cosz在整个复平面内有界. （ ） 4. 若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有?f(z)dz?0.

C（ ）

5. 若limf(z)存在且有限，则z0是函数的可去奇点. （ ）

z?z06. 若函数f(z)在区域D内解析且f'(z)?0，则f(z)在D内恒为常数. （ ）

lim7. 如果z0是f(z)的本性奇点，则z?z8. 若f(z0)?0,f(n)f(z)一定不存在. （ ）

0(z0)?0，则z0为f(z)的n阶零点. （ ）

D9. 若f(z)与g(z)在D内解析，且在

内一小弧段上相等，则

f(z)?g(z),z?D. （ ）

二. 填空题.

1. 设z?1，则Rez?__,Imz?___.

1?i3. 函数ez的周期为__________. 4. 函数f(z)?1的幂级数展开式为__________ 21?z5. 若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________. 7. 设C:|z|?1，则8.

?C(z?1)dz?___.

sinz的孤立奇点为________. zz?z09. 若z0是f(z)的极点，则limf(z)?___.

10.

Res(ezzn,0)?_____________.

三. 计算题.

31. 解方程z?1?0.

6

3.

?z(9?z)(z?i)12|z|?2dz. .

1z有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.

z4. 函数f(z)?e?1?

《复变函数》考试试题（五）

一. 判断题.

1. 若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数. （ ） 2. 若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内

恒等于常数. （ ） 3. 若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析. （ ） 4. 若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析. （ ） 5. 若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析. （ ） 6. 若limf(z)存在且有限，则z0是f(z)的可去奇点. （ ）

z?z07. 若函数f(z)在z0可导，则它在该点解析. （ ） 8. 设函数f(z)在复平面上解析，若它有界，则必f(z)为常数. （ ） 9. 若z0是f(z)的一级极点，则Res(f(z),z)?lim(z?z)f(z) （ ）

00z?z010. 若f(z)与g(z)在

D内解析，且在

D内一小弧段上相等，则

f(z)?g(z),z?D. （ ）

二. 填空题.

1. 设z?1?3i，则|z|?__,argz?__,z?__. 2. 当z3. 设e?___时，ez为实数.

z??1，则z?___.

ze4. 的周期为___. 5. 设C:|z|?1，则

?C(z?1)dz?___.

ze6. Res(?1,0)?____. z 7

7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。 8. 函数f(z)?1的幂级数展开式为_________. 21?z9. sinz的孤立奇点为________.

z10. 设C是以为a心，r为半径的圆周，则三. 计算题. 1. 求复数z1?C(z?a)ndz?___.（n为自然数）

?1的实部与虚部. z?1L2. 计算积分：I?， Rezdz?在这里L表示连接原点到1?i的直线段. 3.

求积分：I?2??0d?，其中0

21?2acos??a四. 证明题. 1. 证明函数

f(z)?|z|2除去在z?0外，处处不可微.

《复变函数》考试试题（六）

一、判断题：

1. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. （ ）

2. 若函数f(z)在z0处满足Caychy-Riemann条件，则f(z)在z0解析. （ ） 3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足Caychy-Riemann条件. （ ） 4. 若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则f?(z)?0(?z?D). （ ）

5. 若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有?f(z)dz?0.

C（ ）

6. 若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有?f(z)dz?0.（ ）

C7. 若z0是f(z)的m阶零点，则z0是

1f(z)的m阶极点.（ ）

8

8. sinz?1(?z?C).（ ）

二、填空题

1?i(1?)n，则limzn?___________.

n??1?nn12. 设f(z)?2，则f(z)的定义域为____________________________.

z?13. 函数sinz的周期为_______________________.

1. 若zn?4.

n?2sin2z?cos2z?_______________________.

??n5. 幂级数?nz的收敛半径为________________.

n?06. 若z0是f(z)的m阶零点且m?1，则z0是f?(z)的____________零点. 7. 函数f(z)?z的不解析点之集为__________. 8. 公式e?cosx?isinx称为_____________________. 三、计算题

ix?2?i?1、lim??. n??6??2、设f(z)?n?3?2?7??1C??zd?，其中C??z:z?3?，试求f?(1?i).

3、设f(z)?ezz?12，求Res(f(z),i).

4、求函数

sinz3z6在0?z??内的罗朗展式.

5、求复数w?6、求e

?z?1z?1的实部与虚部.

?i3的值.

《复变函数》考试试题（七）

一、判断题

1. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个领域内可导.（ ）

2. 若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件.（ ）

9

3. 如果z0是f(z)的可去奇点，则limf(z)一定存在且等于零.（ ）

z?z04. 若函数f(z)是区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数.（ ） 5. 若z0是f(z)的m阶零点，则z0是二、填空题

1f(z)的m阶极点.（ ）

1?i(1?)n，则limzn?___________. 1?nnz2. 设f(z)?2，则f(z)的定义域为____________________________.

z?11. 若zn?sin3. 函数e的周期为______________. 4.

z1sin2z?cos2z?_______________.

??2n25. 幂级数?nzn?0的收敛半径为________________.

6. 若z0是f(z)的m阶零点且m?1，则z0是f?(z)的____________零点. 7. 若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是______________. 8. 函数f(z)?z的不解析点之集为__________.

9. Res(ezzn,0)?_________________.

三、计算题

?1?i??1?i?1、 求?????.

?2??2?2、 设f(z)?22?3?2?7??1C??zd?，其中C??z:z?3?，试求f?(1?i).

3、设f(z)?ezz2，求Res(f(z),0).

4、求函数

z(z?1)(z?1)在1?z?2内的罗朗展式.

5、求复数w?z?1z?1的实部与虚部.

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