复变函数论 - 期末复习题 2

习题与例题

第一章：习题 p42: 1，2，3，6（1,3），10（2,4）11（1,2,3,4），14, 15.

例题： p9：例1.2，p11: 例1.4，p15：例1.8，p17: 例1.9，p18-19：例1.12，例1.13， p23-24：例1.17-1.21，p32：例1.25 ，p35：例1.26。

第二章：习题 p90-93: 4,5,8,10,13,20（1,4）,24。

例题： p49：例2.1，p51: 例2.5，p56-57: 例2.7 -2.9，p62：例2.12， p75：例2.17，例2.18，p80：例2.19，例2.20。

第三章：习题 p141-144: 1，2，4，5，9，10，12，16。

例题： p98：例3.1，p100: 例3.2，p118：例3.8， p121：例3.10，p125：例3.12 ，p133：例3.15，p135：例3.16。

第四章：习题 p178-179: 1，2，5，7（1,2），8。

例题： p148：例4.1，p152: 例4.2，p157: 例4.5，p164-168：例4.6，4.7，4.13。

第五章：习题 p217-220: 1，2，4，8。注意：此部分习题不考虑无穷远点?.

例题： p188：例5.1，p190: 例5.2，p191：例5.3-5.5。

1

第六章：习题 p269-271: 1（1,3,6），3（1,2），4（1,2）。 例题： p228-229：例6.1，6.3，p231: 例6.5，p234：例6.7。

第七章：习题 p317-318: 1，3，4。

例题： p280：例7.1，p282: 例7.2，p292：例7.5。

复习参考题

《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题：

1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( ) 2.若

{zn}收敛，则

{Re zn}与

{Im zn}都收敛. ( )

3.若f(z)在区域D内解析，且

f'(z)?0，则f(z)?C（常数）. ( )

4.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 5.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 6.若

z?z0limf(z)存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( )

C7. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C?f(z)dz?0. 二.填空题 1、

?dz(z?z0)n2|z?z0|?1?__________.（n为自然数）

2.sinz?cosz? _________. 3.函数sinz的周期为___________.

2 2

4.设f(z)??1z2?1n，则f(z)的孤立奇点有__________.

5.幂级数?nz的收敛半径为__________.

n?0ezRes(n,0)?z6.________，其中n为自然数.

7. sinz的孤立奇点为________ .

zlimzf(z)z8.若0是的极点，则?z

三.计算题：

f(z)?___0.

f(z)?1. 设

1(z?1)(z?2)，求f(z)在D?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.

?2.

1cosz|z|?1dz.

3?2?7??1f(z)??d?C??z3. 设，其中C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i).

w?4. 求复数

z?1z?1的实部与虚部.

《复变函数》考试试题（二）

一. 判断题.

1. 若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.

( )

2. cos z与sin z在复平面内有界. ( )

3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( ) 4. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在. ( )

z?z05. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( ) 6. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C?f(z)dz?0. （ ）

C7. 若数列{zn}收敛，则{Rezn}与{Imzn}都收敛. ( )

3

8. 若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析. ( ) 二. 填空题.

1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,z?__

z?1?i2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?C，则limf(z)?________. 3.

?dz(z?z0)?|z?z0|?1n?_________.（n为自然数）

4. 幂级数?nzn的收敛半径为__________ .

n?05. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是f'(z)的_____零点. 6. 函数ez的周期为__________. 7. 设f(z)?1，则f(z)的孤立奇点有_________. 21?z8. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________. 9. Res(z?1,1)?____.

4z三. 计算题.

3sin(2z)的幂级数展开式. 1. 求函数

3. 计算积分：I?i|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）的右半

??i圆.

?4. 求

sinzz?2(z??2dz)2.

《复变函数》考试试题（三）

一. 判断题.

1. cos z与sin z的周期均为2k?. ( ) 2. 若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析. ( ) 3. 若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续. ( ) 4. 若数列{zn}收敛，则{Rezn}与{Imzn}都收敛. ( ) 5. 若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区

4

域D内为常数. ( ) 6. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导. ( ) 8. 若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.

( ) 9. 若z0是f(z)的m阶零点, 则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 10. 若z0是f(z)的可去奇点，则Res(f(z),z0)?0. ( ) 二. 填空题. 1. 设f(z)?1，则f(z)的定义域为___________. 2z?12. 函数ez的周期为_________. 3. 若zn?n?21?i(1?)n，则limzn?__________.

n??1?nn4. sin2z?cos2z?___________. 5. ?|z?zdz0|?1(z?z0)?n?_________.（n为自然数）

6. 幂级数?nxn的收敛半径为__________.

n?07. 设f(z)?z1z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.

8. 设e??1，则z?___.

z?z09. 若z0是f(z)的极点，则limf(z)?___.

ze10. Res(,0)?____. zn三. 计算题. 2. 试求幂级数

n!n的收敛半径. ?nnzn???3. 算下列积分：

?Cezdz，其中C是|z|?1. z2(z2?9)5