初中数学竞赛 - 整式的恒等变形（二）(2)

初一数学联赛班

7 年级

【例18】 若a、b、c都是自然数，且满足a5?b4，c5?d4，且c?a?19，求d?b的值.

【例19】 若x是自然数，设y?x4?2x3?2x2?2x?1，则

(A) y一定是完全平方数

（B）存在有限个x，使y是完全平方数 （C）y一定不是完全平方数

（D）存在无限多个x，使y是完全平方数

【例20】 已知a?b?c?0，求适合等式abc?ab?cb?ca?a?b?c?1989的整数a、b、c的值.

【例21】 证明：如果当自变量x取任意整数值时，二次三项式ax2?bx?c总取整数值，那么2a、a?b和c都是整数，并且反过来也成立.

思维的发掘

能力的飞跃

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平方和.

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【例22】 证明：如果一个数可以表示成两个整数的平方和，那么这个数的2倍也可以表示成两个整数的

思维飞跃

【例23】 若a、b、c、d是整数，且m?a2?b2，n?c2?d2，求证：mn可以表示成两个整数的平方

和.

【例24】 已知m、n都是自然数，且m?n，求证：m4?4n4一定可以表示为四个自然数的平方.

思维的发掘

能力的飞跃

7

是完全平方数.

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【例25】 已知直角三角形勾、股、弦长分别为a、b、c，且a、b、c是整数，a为质数，求证：2(a?b?1)【例26】 已知an?bm?0，a?0，ax2?bx?c?0，mx2?nx?p?0.

求证：(cm?ap)2?(bp?cn)(an?bm).

【例27】 设(a?b)(b?c)(c?d)(d?a)?(a?b?c?d)(bcd?cda?dab?abc).求证：ac?bd.

思维的发掘

能力的飞跃

8

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作业

1. 已知a2b?b2c?c2a?ab2?bc2?ca2，试求(a?b)(b?c)(c?a)的值.

2. 多项式m4?n4?(m?n)4?2(m2?mn?n2)2的值为（ ）

(A)等于零 (B)大于零 (C)小于零 (D) 无法确定

3. 求证：(1?x)(1?x2)(1?x4)(1?x8)?1?x?x2?

4. 若正整数a、b、c满足a2?b2?c2且为质数，那么b、c两数应（ ）

(A)同为奇数 (B)同为偶数 (C)一奇一偶 (D) 同为合数

思维的发掘

?x15.

能力的飞跃

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5. 求证：2(a?b)(a?c)?2(b?c)(b?a)?2(c?a)(c?b)?(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2.

6. 若x为自然数，则x4?3x2?9是质数还是合数？证明你的结论.

7. 已知a2?b2?c2?d2?1，ac?bd?0，求ab?cd的值.

8. 求证：(a?b)2(b?c?a)(c?a?b)?(a?b)2(a?b?c)(a?b?c)?4abc2

思维的发掘 能力的飞跃

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