初中数学竞赛 - 整式的恒等变形（二）

初一数学联赛班

7 年级

第5讲 整式的恒等变形（二）

典型例题

一. 基础训练

【例1】 当x?3y?4z?1，2x?y?2z?2时，化简：x2?2xy?3y2?2xz?10yz?8z2的结果是（ ）

(A) 1 (B) 0 (C) 2?x (D) x?2

【例2】 若14(a2?b2?c2)?(a?2b?3c)2，求a:b:c.

【例3】 设a、b、c为有理数，且a?b?c?0，a3?b3?c3?0.求证：对任意正奇数n，都有

an?bn?cn?0.

【例4】 已知x?y?z?a，xy?yz?zx?b，xyz?c，用a、b、c表示xy2?x2y?yz2?y2z?z2x?x2z.

思维的发掘

能力的飞跃

1

【例6】 求证：(1?a?a2?

初一数学联赛班

7 年级

【例5】 设x3?mx2?nx?r是x的一次式的完全立方式，求证：3mr?n2.

?an)2?an?(1?a?a2??an-1)(1?a?a2??an?1).

【例7】 求证：2[(y?z)4?(z?x)4?(x?y)4]?[(y?z)2?(z?x)2?(x?y)2]2.

a5?b5?c5a3?b3?c3a2?b2?c2【例8】 已知：a?b?c?0，求证：. ??532

思维的发掘 能力的飞跃

2

【例9】 设

初一数学联赛班

7 年级

ab?，求证：(a?b?c)2?a2?b2?c2?2(a?b?c)(a?c) bc

【例10】 已知实数a、b满足ab?0，且(a2?b2)3?(a3?b3)2?8a3b3，求

42【例11】 设有多项式A?4x求证：如果A的系数满足?4p3x?4q2x?2(pm?1)?x(m?，1)ba?的值. abp2?4q?4(m?1)?0，那么A恰好是一个二次三项式的平方.

思维的发掘

能力的飞跃

3

二. 巩固提高

初一数学联赛班

7 年级

【例12】 已知m2?n2?1，p2?q2?1，mp?nq?0，求证：m2?p2?1，n2?q2?1，mn?pq?0.

【例13】 已知a、b、c两两不等，且满足关系式：a2?b2?mab?b2?c2?mbc?c2?a2?mac.

（1）求m的值； （2）求证：a2?b2?c2?2(a2?b2?mab).

【例14】 设a?b?c?abc，求证：a(1?b2)(1?c2)?b(1?c2)(1?a2)?c(1?a2)(1?b2)?4abc.

思维的发掘

能力的飞跃

4

初一数学联赛班

7 年级

【例15】 证明：(x?y?z)3xyz?(yz?zx?xy)3?xyz(x3?y3?z3)?(y3z3?z3x3?x3y3).

【例16】 已知：ax?by?0，cx2?dxy?cy2?0且x?0,y?0，求证：a2c?b2c?abd.

三. 数论中的应用

【例17】 设x、y、z都是整数，且11整除7x?2y?5z，求证：11整除3x?7y?12z.

思维的发掘

能力的飞跃

5