高三数学理科二轮复习同步练习 2-3-22三角函数、平面向量、立体(2)

→→→

(2)设PM＝λPA，λ≠1，则PM＝λ(0，－3，－4)． →→→→→BM＝BP＋PM＝BP＋λPA＝

(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)， →→

AC＝(－4,5,0)，BC＝(－8,0,0)． 设平面BMC的法向量n1＝(x1，y1，z1)， 平面APC的法向量n2＝(x2，y2，z2)． →??BM·n1＝0，由?→??BC·n1＝0，

??－4x1－?2＋3λ?y1＋?4－4λ?z1＝0，得? ?－8x1＝0，?

x1＝0，??即?2＋3λ

z1＝y1，?4－4λ?→??AP·n2＝0，由?→??AC·n2＝0，5??x2＝4y2，得?

3

?z＝－y，?242

?2＋3λ?

?. 可取n1＝?0，1，4－4λ??

??3y2＋4z2＝0，即? ?－4x＋5y＝0，?22

可取n2＝(5,4，－3)．

2＋3λ

由n1·n2＝0，得4－3·＝0，

4－4λ2

解得λ＝，故AM＝3.

5

综上所述，存在点M符合题意，AM＝3.

方法二：(1)由AB＝AC，D是BC的中点，得AD⊥BC. 又PO⊥平面ABC，得PO⊥BC.

因为PO∩AD＝O，所以BC⊥平面PAD， 故BC⊥PA.

(2)如图，在平面PAB内作BM⊥PA于M，连接CM.

由(1)中知PA⊥BC，得AP⊥平面BMC.

又AP?平面APC，所以平面BMC⊥平面APC.

在Rt△ADB中，AB2＝AD2＋BD2

＝41，得AB＝41.

在Rt△POD中，PD2＝PO2＋OD2， 在Rt△PDB中，PB2＝PD2＋BD2， 所以PB2＝PO2＋OD2＋DB2＝36，得PB＝6. 在Rt△POA中，PA2＝AO2＋OP2＝25，得PA＝5. PA2＋PB2－AB21

又cos∠BPA＝＝，

2PA·PB3

从而PM＝PBcos∠BPA＝2，所以AM＝PA－PM＝3. 综上所述，存在点M符合题意，AM＝3.

4．(13分)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球， 这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)．

(1)求在1次游戏中；

(ⅰ)摸出3个白球的概率； (ⅱ)获奖的概率；

(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)． 解：(1)(ⅰ)设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai＝(i＝0,1,2,3)，则

1

C213C2P(A3)＝2·2＝.

C5C35

(ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.又P(A2)＝

211

C2C113C23C2C22·2＋2·2＝. C5C3C5C32

117且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.

2510(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.

?7?9

P(X＝0)＝?1－10?＝.

100??

2

P(X＝1)＝C12

7?217?

?1－?＝. 10?10?50

2

?7?49

P(X＝2)＝?10?＝. 100??

所以X的分布列是

X P 0 9 1001 21 502 49 100921497X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 100501005