高三数学理科二轮复习同步练习 2-3-22三角函数、平面向量、立体

高考专题训练二十二

三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题

班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：50分 总得分________

?1π?

1．(12分)已知函数f(x)＝2sin?3x－6?，x∈R.

???5π?

(1)求f?4?的值；

??

?π??π?106????(2)设α，β∈0，2，f3α＋2＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)

5????13

的值．

分析：本题考查运用三角公式化简求值．(1)f(x)的解析式已给出，

?5π??π?106

求f?4?即可；(2)先化简f?3α＋2?＝，f(3β＋2π)＝，再结合α，β∈

5????13?π?

?0，?求cosα与sinβ，代入即得cos(α＋β)的值．

2??

?1π?解：(1)∵f(x)＝2sin?3x－6?，

???5π??5ππ?π

∴f?4?＝2sin?12－6?＝2sin＝2.

4????

?π??π?106

(2)∵α，β∈?0，2?，f?3α＋2?＝，f(3β＋2π)＝，

5????13?π?61053

∴2sinα＝，2sin?β＋2?＝，即sinα＝，cosβ＝，

13135??5

124

∴cosα＝，sinβ＝，

135

1235416

∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.

13513565

2．(12分)(2011·重庆卷)如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥

平面ACD，AB⊥BC，AD＝CD，∠CAD＝30°.

(1)若AD＝2，AB＝2BC，求四面体ABCD的体积；

(2)若二面角C－AB－D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．

分析：本小题主要考查面面垂直的性质、四面体的体积计算公式、二面角的意义与异面直线所成的角的意义及求法．在具体处理过程中，可围绕线面垂直的性质定理去考虑，从而添加相关的辅助线，由此求得相关几何体的体积；在求异面直线所成的角的过程中，注意根据异面直线所成角的意义，考虑平移其中一条或两条直线，从而将问题转化为求两条相交直线的夹角问题．也可考虑通过建立坐标系的方式解决相关问题．

解：(1)如图所示，设F为AC中点，连接FD，由于AD＝CD，所以DF⊥AC.又由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD

的面ABC上的高，且DF＝ADsin30°＝1，AF＝ADcos30°＝3.

在Rt△ABC中，因AC＝2AF＝23，AB＝2BC，由勾股定理易215415知BC＝，AB＝. 55

1114152154故四面体ABCD的体积V＝·S△ABC·DF＝×××＝.

332555

(2)解法一：如图所示，设G，H分别与边CD，BD的中点，则FG∥AD，GH∥BC，从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角．

设E为边AB的中点，则EF∥BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB.又由(1)知DF⊥平面ABC，故由三垂线定理知DE⊥AB.所以∠DEF为二面角C－AB－D的平面角．由题设知 ∠DEF＝60°.

a设AD＝a，则DF＝AD·sin∠CAD＝. 2

3a3

在Rt△DEF中，EF＝DF·cot∠DEF＝·＝a，

23613

从而GH＝BC＝EF＝a.

26

因Rt△ADE≌△BDE，故BD＝AD＝a， 1a

从而，在Rt△BDF中，FH＝BD＝. 22

1a

又FG＝AD＝，从而在△FGH中，因FG＝FH，由余弦定理得

22FG2＋GH2－FH2GH3

cos∠FGH＝＝＝. 2FG·GH2FG6因此，异面直线AD与BC所成3

角的余弦值为.

6

解法二：如图所示，过F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD＝CD，平面ABC⊥平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直．以F为原点，

射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F－xyz.

不妨设AD＝2，由CD＝AD，∠CAD＝30°，易知点A，C，D的→

坐标分别为A(0，－3，0)，C(0，3，0)，D(0,0,1)，则AD＝(0，3，1)．

显然向量k＝(0,0,1)是平面ABC的一个法向量．

已知二面角C－AB－D为60°，故可取平面ABD的一个单位法向1量n＝(l，m，n)，使得〈n，k〉＝60°，从而n＝. 2

→3由n⊥AD，有3m＋n＝0，从而m＝－.

66

由l2＋m2＋n2＝1，得l＝±.

3

→→→6

设点B的坐标为B(x，y,0)，由AB⊥BC，n⊥AB，取l＝，有

3

22x＋y＝3，?

?63x－?y＋?36

3?＝0，

?

解之得，?73

y＝?9

46x＝，

9

??x＝0，或?(舍去)． ?y＝－3?

6

易知l＝－与坐标系的建立方式不合，舍去．

3→?4673?

因此点B的坐标为?，，0?.所以CB

9?9?

→→

→→?46?AD·CB23

＝?＝，－，0?.从而cos〈AD，CB〉＝

9→→?9?

|AD||CB|

?23?

?3×?－93??

＝－. 6?46?2?23?2

?＋?－?3＋1× ?99????

故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为

3

. 6

3．(13分)(2011·浙江卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.

(1)证明：AP⊥BC；

(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A－MC－B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

分析：此题主要考查了线线位置关系和二面角的求解，对(1)问线线垂直的证明易入手，利用线面垂直即可进行证明；对(2)问可采用空间直角坐标向量法进行处理；解题时对(2)问要注意恰当建立坐标系，恰当设参数，从而有效快速求解．

解：方法一：(1)如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.

则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)， →→→→→AP＝(0,3,4)，BC＝(－8,0,0)，由此可得AP·BC＝0，所以AP⊥→

BC，即AP⊥BC.