北师大六年级同步奥数培优

第一讲 圆的周长与面积（一）

【知识概述】

圆是由曲线围成的平面图形。在日常生活和学习中我们经常会遇到与圆的周长和面积有关的问题。

圆的周长除以它的直径的商是一个固定不变的数，这个结果被称为“圆周率”。圆周率是一个无限不循环的小数，用字母“π”表示，圆的周长=圆周率x直径，即C=πd或C=2πr。

圆的面积等于圆周率与半径平方的乘积，即S=?r2。

下图圆的阴影部分是一个扇形，它的面积是一个圆的面积的四分之一，它的周长是圆周长的四分之一再加上两条半径的长。

【例题精学】

例1：把4个啤酒瓶扎在一起（如图所示）捆4圈至少用绳子多少厘米？ (接头部分用去

15厘米）

思路点拨：用绳子捆4圈的长度就是指周长的4倍。这个图形的周长可分为两类：线段的

长度和弧的长度。而这四条弧正好可以拼成一个圆，每条线段的长正好是圆的直径的长。所以绳子捆1圈的长度就是图中一个圆的周长加上4条直径的长度之和。 【同步精炼】

1、计算下雨中阴影部分的周长。（单位：厘米）

2、一个街心花园如下图的形状,中间正方形的边长是 20 米,四周为半圆 形,这个街心花园的周长是多少米?

3、在学校200米的跑道中,每条跑道宽1.2米.由于有弯道,为了公平,外道和内道选手的起跑线不在同一地点.如：A点处是小明的起跑线,B是小强的起跑线,AB两点的距离是?

例2：如下图，从点A到点B沿着大圆走和沿着中,小圆周走的路程相同吗?

思路点拨：从点A到点B有两种走法：第一种是大圆的周长的一半；第二种是由A到C

的中圆周长的一半与C到B的小圆周长的一半的和。设小圆的直径为a，中原的直径为b，则大圆的直径为a+b。那么第一种走法的路程为C1=πa?2+πb?2；第二种走法的路程为C2=πa?2+πb?2，所以C1=C2. 【同步精炼】

1、下图中，从A点到B点沿着大圆周走和沿着小圆周走，路程相同吗？

2、已知AB=50cm，求圆中各圆的周长总和。

3、已知一个大圆中紧紧的排列着三个半径不同的小

圆（如图），并且这四个圆的圆心恰好在同一条直线上。如果大圆的周长是30cm，那么三个小圆的周长之和是多少？

例3：将半径分别是3厘米和2厘米的两个半圆按下图形状放置，求阴影部分的周长。

思路点拨：阴影部分的周长为小半圆的弧长加上大半圆的弧长，再加上两条线段的长。

两个半圆的弧长是2×2×3.14÷2+2×3×3.14÷2=15.7（厘米） 两条线段的长是3+（2×2-3）=4（厘米） 这样就求出阴影部分的周长了。

【同步精炼】

1、一个半圆的周长是20.56厘米，这个半圆的直径是多少厘米？

2、以B与C为圆心的两个半圆的直径都是4分米，求阴影部分的周长。

3、下图中圆的面积等于长方形的面积，已知圆的周长是36厘米，那么图中的阴影部分的周长是多少厘米？

例3：下图是由正方形和半圆组成的图形，其中P点为半圆的中点，Q点为正方形一边上的

中点，那么阴影部分的面积是多少？（单位：厘米）

思路点拨：求阴影部分的面积最常用的方法叫做“排空法”。所谓排空法就是指用图形外

围的面积减去空白部分的面积就是阴影部分的面积。此题中图形外围的面积应该是正方形和半圆面积之和，比较好求。空白部分是个不规则的四边形，我们可以用分割的方法把它分成几块基本图形再求面积。

连接BP，则图中阴影部分面积可以用正方形与半圆面积的和减去三角形ABP与三角形BPQ的面积之和。

【同步精炼】

1、下图小半圆的半径为4厘米，求阴影部分的面积。

2、下图中三角形的面积是12平方厘米，求阴影部分的面积。

第二讲 圆的周长与面积（二）

【知识概述】

在上一讲中，我们知道了求阴影部分面积常用的方法是“排空法”。除此之外，还经常用到“二次求差法”、“平移旋转法”。

所谓“二次求差法”就是利用“排空法”求图中阴影部分的面积，而空白部分的面积也要通过两个图形面积相减求得。

有些不规律的组合图形（或阴影部分）的面积计算，无法直接或较难直接求得，但是通过将这些图形分割，或将这些图形平移、旋转后重新组成一个面积大小不变的新图形，这时面积很容易求得。这种方法就是“平移旋转法”。

【例题精学】

例1：在长方形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE的半径AE=6厘米，扇形

CBF的半径CF=4厘米，求图中阴影部分的面积。

思路点拨：观察图形，不难看出图中的阴影部分面积可以用扇形ABE的面积减去空白部

分ABFD的面积，而空白部分ABFD的面积又可以用长方形ABCD的面积减去扇形BCF的面积，这就是“二次求差法”的利用。

【同步精炼】

1、 如下图，扇形AFB恰为一个圆的四分之一，BCDE是正方形，AFBG是正方形，则图中阴

影部分的面积是多少？（单位：厘米）

2、 求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）

3、 下图正方形的边长是4厘米，求阴影部分的面积。