必修一 第一章 集合（集合讲义，做的很细，适合初学者）(2)

②集合的元素必须是明确的； ③各元素的出现无顺序； ④集合里的元素不能重复；

⑤集合里的元素可以表示任何事物. （2）描述法

将集合的所有元素都具有性质（ ）表示出来，写成_________的形式,称之为描述法. 注意：

①写清楚该集合中元素满足性质； ②不能出现未被说明的字母；

③多层描述时，应当准确使用“或”，“且”； ④所有描述的内容都要写在集合的括号内； ⑤用于描述的语句力求简明，准确. 思考:还有其它表示集合的方法吗？ 【答】

文字描述法：是一种特殊的描述法，

如：{正整数}，{三角形}

图示法（Venn图）：用平面上封闭曲线的内部代集合. 2. 集合相等

如果两个集合A，B所含的元素完全相同，

___________________________________ 则称这两个集合相等，记为：_____________

二、例题讲解

1、用集合的两种常用方法具体地表示合 例1．用列举法表示下列集合： （1）中国国旗的颜色的集合；

（2）单词mathematics中的字母的集合； （3）自然数中不大于10的质数的集合； （4）同时满足?集合； （5）由

?2x?4?0的整数解的

1?x?2x?1?|a||b|?(a,b?R)所确定的实数 ab 集合.

（6）{(x,y)|3x+2y=16，x∈N，y∈N } 分析：先求出集合的元素，再用列举法 表示.

点评: （1）用列举法表示集合的步骤为： ①求出集合中的元素

②把这些元素写在花括号内

（2）用列举法表示集合的优点是元素一目了 然；缺点是不易看出元素所具有的属性.

例2．用描述法表示下列集合：

（1）所有被3整除的整数的集合； （2）使y?2

2?x有意义的x的集合； x （3）方程x+x+1=0所有实数解的集合；

2

（4）抛物线y=-x+3x-6上所有点的集合；

y1-1o-12x （5）图中阴影部分内点的集合；

分析：用描述法表示来集合，先要弄清楚元素所具有的形式，从而写出其代表元素再确定元素所具有的属性即可.

点评: 用描述法表示集合时，注意确定和简 化集合的元素所具有的共同特性

例3．已知A={a|

6?N,a?Z}， 3?a试用列举法表示集合A．

分析：用列举法表示的集合，要认清集合的实质，集合中的元素究竟满足哪 些条件．

点评:本题实际上是要求满足6被3-a整除的 整数a的值，若将题目改为

6?Z， 3?a 则集合A={-3，0，1，2，4，5，6，9}.

2、有关集合相等方面的问题

例4．已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a,b}，且Q=P，求1+a+b的值．

分析：含字母的两个集合相等，并不意味着 按序对应相等，要分类讨论，同时也要考虑

集合中的元素的互异性和无序性.

例5． 已知集合B={x|

2222

x?a?1}有唯一元素，用列举法表示a的值构成的集合A. 2x?2点拔： x?a?1}有唯一元素，同学们习惯上将分式方程去分母，转化为一元二次x2?2方程的判别式为0，事实上当a=?2时，也能满足唯一元素，但方程已不是一元二次方程，

本题集合B={x|

而是一元一次方程，也有唯一解，所以本题要分三种情况讨论 .

三、巩固练习

1.用列举法表示下列集合： (1) {x|x+x+1=0}

(2){x|x为不大于15的正约数} (3) {x|x为不大于10的正偶数} (4){(x,y)|0≤x≤2，0≤y<2，x，y∈Z} 2. 用描述法表示下列集合： (1) 奇数的集合； (2)正偶数的集合； (3)不等式2x-3>5的解集；

(4)直角坐标平面内属于第四象限的点的 集合； . 3. 下列集合表示法正确的是 (1) {1，2，2}； (2) {Ф}； (3) {全体有理数}； (4) 方程组?2

?x?3y?14的解的集合为

?2x?y?02

2

{2，4}；

（5）不等式x-5>0的解集为{x-5>0}.

4、集合A={x|y=x+1}，B={t|p=t+1}

C={y|x =3?4y}，这三个集合 的关系？

22

2

5、已知A={x|

12?N,x?N}，试用列举法表示集合A． 6?x1.2 子集、全集、补集

集 合 的 关 系 相等 包含 补集 全集 子集 真子集

一、知识梳理

1．子集的概念及记法：

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（ ），则称集合

A为集合B的子集（subset）,记为___________或___________读作“________________”或“__________________”用符号语言可表示为：__________________.

注意：（1）A是B的子集的含义：任意x∈A，能推出x∈B；

（2）不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合. 2．子集的性质： ① A ? A ② ??A

③ A?B,B?C,则A?C 思考:A?B与B?A能否同时成立？ 【答】 _________ 3．真子集的概念及记法：

如果A?B，并且A≠B，这时集合 A称 为集合B的真子集（proper set）,记为 _________或_________读作“__________ __________”或“__________________” 4．真子集的性质：

①?是任何非空集合的真子集 符号表示为___________________ ②真子集具备传递性

符号表示为___________________ 5．全集的概念：

如果集合U包含我们所要研究的各个集合，

这时U可以看做一个全集（universal set）全集通常记作_____ 6．补集的概念：

设____________，由U中不属于A的所有元 素组成的集合称为U的子集A的补集（complementary set）, 记为___________ 读作“_________________________” 即：CUA=_______________________ 7．补集的性质：

① CU?=__________________ ② CUU=__________________ ③ CU(CUA)=______________

二、例题讲解

1、写出一个集合的子集、真子集及其个数公式 例1．写出集合{a，b}的所有子集及其真子集； 写出集合{a，b，c}的所有子集及其真子集；

分析：按子集的元素的多少分别写出所有子集，这样才能达到不重复，无遗漏， 但应注意两个特殊的子集：?和本身．

点评:写子集，真子集要按一定顺序来写．

n

①一个集合里有n个元素，那么它有2个子集；

n

②一个集合里有n个元素，那么它有2-1个真子集；

n

③一个集合里有n个元素，那么它有2-2个非空真子集．

2、判断元素与集合之间、集合与集合之间的关系 例2：

以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来． （1）a与{a} 0 与 ? （2）?与{20，

3，2，?} 5 （3）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，

B={-2，2}；

（4）S=R，A={x|x≤0，x∈R}，B={x|x>0 ，x∈R }；

（5）S={x|x为地球人 }，A={x|x 为中国人}，B={x|x为外国人 }

点评:

① 判断两个集合的包含关系，主要是根据集合的子集，真子集的概念，看两个集合里的元素的关系，是包含，真包含，相等．