高等数学竞赛讲义第二章一元微分学(4)

这时方程条件用x?0代入不行，无法得出上面的公式 ∵ f??(x)存在 ∴ f?(x)连续，linf?(x)?f?(0)?0

x?0f??(0)?limf?(x)?f?(0)x?0x?0?limf?(x)xx?0?limf??(x)1（用洛必达法则）

x?0 ?lim{x?01?ex?x?x?3[f?(x)]}?lim21?ex?x （再用洛必达法则）

x?0 ?limex?01?1?0 ∴f(0)是极小值

? 例4 函数y?f(x)是由方程满足x3?3xy2?2y3?32?0确定，且f(x)可导，求

f(x)的极值（2004）

? 例5 函数y?f(x)满足方程exf(x)?2e??xf(??x)?3sinx,x?R，求f(x)的极

值（2007）

三、判断方程根的情况

? 例1 设f(x)?e?xx36x，问f(x)?0有几个实根？为什么？（2006）

23n? 例2 证明方程1?x?2!?x3!?...?xn!当n为奇数时有且仅有一个实根（2008） ?0，

n? 例3 （1）证明fn(x)?x?nx?2（n为整数）在(0,??)上有唯一正根an

（2） 计算lim(1?an)（2008）

x??n? 例4 设f(x)在(??,??)上具有二阶导数，且f?(x)?0,limf?(x)???0，

x???x???limf?(x)???0，且存在一点x0使得f(x0)?0证明方程f(x)?0在(??,??)上

恰有两个实根。（2010）

四、 关于函数的单调性

? 例1 设?x?(??,??),f??(x)?0,0?f(x)?1?e?x2，求f(x)的表达式？（2007）

? 例2 设f(x)在(0,??)上可导，且f?(x)?f(x),f(0)?0，证明f(x)?0(x?0)16

（2009）

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