高等数学竞赛讲义第二章一元微分学(3)

b?a22?ba?2?f?(?)(??a)，

f(x)dx 即有 f?(?)(b?a)?222???a?baf(x)dx.

三、 泰勒公式

例1 设函数f(x)在闭区间[a,b]上具有二阶导数，且f?(a)?f?(b)?0，试证：在(a,b)内至少存在一点?，使

f(b)?f(a)(b?a)2|f??(?)|?4

成立。

分析：因所欲证的是不等式，故需估计f??(?)，由于一阶泰勒公式

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?122f??(?)(x?x0)，（其中?在x0,x之间）

含有f??(?)，因此应该从此入手. 再由f?(a)?[a,a?b2],[a?b2?f(?b)知0，应在

,b]两个区间上分别应用泰勒公式，以便消去公式中的f?(x)项，同时又

能出现(b?a)2项.

证：在[a,a?b2a?b2a?b2]与[a?b2,b]上分别用泰勒公式，便有

f()?f(a)?f?(a)(a?b2a?b2?a)?12!12!f??(?1)(b?a2b?a2),a??1?2a?b2.

f()?f(b)?f?(b)(?b)?f??(?2)(),2a?b2??2?b.

两式相减，得

|f(b)?f(a)|?181414(b?a)|f''(?1)?f''(?2)| (b?a)22

??12(|f''(?1)|?|f''(?2)|)

(b?a)max{|f''(?1)|,|f''(?2)|}.

2所以至少存在一点??(a,b)，使得

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|f??(?)|?4|f(b)?f(a)(b?a)2|

三、导数的应用

? 内容要点

一、判断函数的单调性 二、函数的极值

三、函数的最大值和最小值 四、凹凸性与拐点 五、渐近线及其求法 六、函数作图

七、判断方程根的情况

? 典型例题

一、证明不等式

例1．求证：当x?0时，(x2?1)lnx?(x?1)2 证：令f(x)?(x?1)lnx?(x?1)

只需证明x?0时，f(x)?0

易知f(1)?0，f?(x)?2xlnx?x?2?1x22，

f'(1)?0，由于f?(x)的符号不易判断，故进一步考虑 f??(x)?2lnx?1?1x22，f??(1)?2?0

再考虑f???(x)?2(x?1)x3

于是，当0?x?1时，f???(x)?0；

当1?x???时，f???(x)?0

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由此可见，f??(1)?2是f??(x)的最小值。

由于f??(x)?2?0，这样x?0时，f?(x)单调增加 又因为f?(1)?0，所以0?x?1时，f?(x)?0；

1?x???时，f?(x)?0。

再由f(1)?0，可知0?x?1时，f(x)?0；

1?x???时，f(x)?0，这样证明了x?0时，f(x)?0。

证二：令f(x)?lnx?x?1x?1（自己思考）

证三：令f(x)?(x?1)lnx?(x?1)（自己思考）

22? 例2 证明：当x?0， (1?x)ln(1?x)?x（2009）

例3 设b?a?0，求证：lnba?2(b?a)b?a

证：令f(x)?(lnx?lna)(x?a)?2(x?a),(x?a) 则f?(x)?(x?a)?(lnx?lna)?2 x?a1x?af??x??2???0 (x?a) 2xxx1于是可知f?(x)在x?a时单调增加，又f?(a)?0，∴x?a时f?(x)?0，这样f(x)单调增加。因此，b?a?0时f(b)?f(a)?0，得证。

2例4 设e?a?b?e，证明lnb?lna?224e2(b?a)

证一：对函数f(x)?ln2x在[a,b]上用拉格朗日中值定理

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lnb?ln22a?2ln??(b?a) （a???b）

再来证明?(t)?∵ ?'(t)?lntt2在t?e时单调减少

?0(t?e)

1?lntt从而?(?)??(e)，即故ln2b?ln2a?4e22ln???lnee22?2e2

(b?a) x?4e2证二：设g(x)?lng''(x)?2?1?lnxx22x，则g'(x)?2lnxx?4e2

当x?e时，g??(x)?0，故g?(x)单调减少

g?(x)?g?(e)?24e2?4e2?0

因此e?x?e2时，由g?(x)?0可知g(x)单调增加 题设e?a?b?e2，于是g(b)?g(a) 故lnb?24e2b?ln2a?4e2a，即ln2b?ln2a?4e2(b?a)

? 例5 证明：当

x3?2?x?0时，

（1）tanx?x?3x3

（2）tanx?x?3?2x515?x763（2005）

? 例6 证明： cos2x??x?21?x,42?4?x?0（2007）

2? 例7 已知y?f(x)有二阶可导，且f(x)?0,f??(x)f(x)?[f?(x)]?0,x?R

（1）证明：f(x1)f(x2)?f(2x1?x22),?x1,x2?R

（2）若f(0)?1，证明：f(x)?ef?(0)x,?x?R （2007）

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? 例8 证明：

1?sinx1?sinx?ln(1?sinx)??xx3,x?(?2,?)（2007）

? 例9 证明： 1?x?x22!???3!?t2?x44!1x?0,?x?R（2008）

? 例10 证明：?x?0,?? 例11 证明：tan2xe2dt?e2?x22（2010）

?2)（2010）

x?2sin2x?3x,x?(0,二、有关函数的极值、最值

例1、设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 [ ] （A）一个极小值点和两个极大值点 （B）两个极小值点和一个极大值点 （C）两个极小值点和两个极大值点 （D）三个极小值点和一个极大值点

例2 设f(x)的导数在x?a处连续，又lim（A）x?a是f(x)的极小值点 （B）x?a是f(x)的极大值点

（C）(a,f(a))是曲线y?f(x)的拐点

（D）x?a不是极值点，(a,f(a))也不是曲线y?f(x)的拐点

例3 设y?f(x)有二阶导数，满足xf??(x)?3x[f?(x)]?1?e求证：f?(x0)?0时，f(x0)为极小值 证：（1）x0?0情形。 f??(x0)?1?ex0?x02?xf?(x)x?ax?a??1，则[ ]

?x0?0,1?e?x0?0??0?? 故f(x0)为极小值 ?x0x?0,1?e?0?0?（2）x0?0情形

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