高等数学竞赛讲义第二章一元微分学

第二部分 一元函数微分学

一、导数与微分

? 内容要点

一、导数与微分概念 二、导数与微分计算

? 典型例题

一、用导数定义求导数

例1 设f(x)?(x?a)g(x)，其中g(x)在x?a处连续，求f?(a) 解：f?(a)?limf(x)?f(a)x?a?lim(x?a)g(x)?0x?ax?0x?ax?a?g(a)

?1，求f(0),f?(0),f??(0)的值

? 例2 设f(x)在x=0处二阶可导，且lim（2005）

f(x)1?cosx二、分段函数在分段点处的可导性

例1 设函数

?x2,x?1f(x)??

ax?b,x?1?试确定a、b的值，使f(x)在点x?1处可导。

xe2n(x?1)例2 设f(x)?lim?ax?b?1n??en(x?1)，问a和b为何值时，f(x)可导，且求f?(x)

解：∵x?1时，limen??n(x?1)???， ?0

x?1时，limen??n(x?1)?x2,x?1，??a?b?1,x?1， ∴ f(x)??2?ax?b,x?1，??1

由x?1处连续性，limf(x)?limx?1，f(1)?x?1?2a?b?12x?1??1，可知a?b?1

再由x?1处可导性， f??(1)?lim?x?1x?f(1)x?12存在

f??(1)?lim?x?1(ax?b)?f(1)x?1存在

且f??(1)?f??(1)

根据洛必达法则f??(1)?limx?12x1??2

f??(1)?lim?x?1a1 a?2 ?a，∴

于是b?1?a??1

?x2,x?1,?f(x)??1,x?1,

?2x?1,x?1,??2x,x?1,f?(x)??

?2,x?1,三、运用各种运算法则求导数或微分

例1 设y?xx(x?0)，求例2 设y?y(x)由方程x例3 设

??x???y??yxdydx

x?y所确定，求

dydx

??tt2eu2sinudu2t0 求

eln(1?u)duudxdy

? 例4 设

?x?cos(t2)2dy?2 求2 （2007） t?2?udxsinudu?y??0e?? 例5. 设f(x)连续，且当x??1时，

f(x)[?f(t)dt?1]?0xxex2，求

2(1?x)f(x)。(2002)

2

? 例6. 设f(x)连续，?(x)??x0dv?f(u?v?x)du，求??(x)。(2009)

0x? 例7. 设f(x)连续，且f(x)?

x??x0ext22f(t)dt，求f?(1)?3f(1)。(2010)

四、求切线方程和法线方程

例1 已知两曲线y?f(x)与y?程，并求limnf()。

n???arctanx0e?t2dt在点（0，0）处的切线相同，写出此切线方

2n解：由已知条件可知f(0)?0，f?(0)?故所求切线方程为y?x

e?(arctanx)21?x2x?0?1

2f()?f(0)2nlimnf()?lim2??2f?(0)?2

n??n??2nn? 例2 设f(x)为周期是5的连续函数，在x?0邻域内，恒有

f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x??(x)。其中lim?(x)xx?0?0，f(x)在x?1处可导，

求曲线y?f(x)在点（6,f(6)）处的切线方程。 解：由题设可知f(6)?f(1)，f?(6)?f?(1)，故切线方程为

y?f(1)?f?(1)(x?6)

所以关键是求出f(1)和f?(1)

由f(x)连续性lim[f(1?sinx)?3f(1?sinx)]??2f(1)

x?0 由所给条件可知?2f(1)?0，∴ f(1)?0

再由条件可知lim令sinx?t,limf(1?sinx)?3f(1?sinx)sinxf(1?t)?3f(1?t)t?lim(x?08xsinxx?0??(x)sinx)?8

t?0?8，又∵f(1)?0

∴ 上式左边=lim[f(1?t)?f(1)]tt?0?3limf(1?t)?f(1)(?t)t?0

=f?(1)?3f?(1)?4f?(1)

3

则4f?(1)?8 f?(1)? 2所求切线方程为y?0?2(x?6) 即 2x?y?12?0·

?x?lnt?? 例3 求曲线?y?2t????t1e?(ts)2在t=1处的切线方程 （2008）

ds五、高阶导数 ? 例1 设f? 例2 设f?x??arctan?x??31?x1?x，求fn?0? （2004） ?0? （2008）

xarcsinx，求f22008? 例3 设f(x)?x3sinx，求ff(y)(2009)(0)（2009）

? 例4 设y?y(x)由xedydx22y?eln29确定，其中f具有二阶导数，且f??1，则

?_______________（2009）

二、微分中值定理

这部分有关考题主要是证明题，技巧性比较高。

? 内容要点

一、罗尔定理

二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、泰勒定理

? 典型例题

一、用罗尔定理的有关方法

例1 设f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)?f(1)?f(2)?3，f(3)?1. 试证：必存在??(0,3)，使f?(?)?0

证：∵ f(x)在[0，3]上连续，∴ f(x)在[0，2]上连续，且有最大值M和最小值m.于是m?f(0)?M；m?f(1)?M；m?f(2)?M，故

4

m?13[f(0)?f(1)?f(2)]?M. 由连续函数介值定理可知，至少存在一点c?[0,2]使得13f(c)?（c，3）[f(0)?f(1)?f(2)]?1，因此f(c)?f(3)，且f(x)在[c，3]上连续，

内可导，由罗尔定理得出必存在??(c,3)?(0,3)使得f?(?)?0。

1例2 设f(x)在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且3?2f(x)dx?f(0)

3求证：存在??(0,1)使f'(?)?0

证：由积分中值定理可知，存在c?[,1]，使得

31232?f(x)dx?f(c)(1?23)

得到 f(c)?3?2f(x)dx?f(0)

31对f(x)在[0，c]上用罗尔定理，（三个条件都满足） 故存在??(0,c)?(0,1)，使f?(?)?0

1例3 设f(x)在[0,1]上连续，(0，1)内可导，对任意k?1，有f(1)?k?kxe1?xf(x)dx，

0求证存在??(0,1)使f?(?)?(1??1k?1)f(?)

1证：由积分中值定理可知存在c?[0,]使得?k0xe1?xf(x)dx?ce1?cf(c)(1k?0)

令F(x)?xe1?xf(x)，可知F(1)?f(1)

1这样F(1)?f(1)?k?k0xe1?xf(x)dx?ce1?cf(c)?F(c)，对F(x)在[c,1]上用罗尔定理

（三个条件都满足）存在??(c,1)?(0,1)，使F?(?)?0 而F?(x)?e1?xf(x)?xe1?xf(x)?xe1?xf?(x)

∴ F?(?)??e1??[f?(?)?(1?1?)f(?)]?0

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