高等数学竞赛讲义第二章一元微分学(2)

又?e1???0，则f?(?)?(1?1?)f(?)

罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的F(x)是非常关键，下面的模型Ⅰ，就在这方面提供一些选择。

模型Ⅰ：设f(x)在[a,b]上连续，（a,b）内可导，f(a)?f(b)?0则下列各结论皆成立。 （1）存在?1?(a,b)使f?(?1)?lf(?1)?0（l为实常数）令F(x)?elxf(x) （2）存在?2?(a,b)使f?(?2)?k?2k?1f(?2)?0（k为非零常数）令F(x)?exf(x) （3）存在?3?(a,b)使f?(?3)?g(?3)f(?3)?0（g(x)为连续函数）令F(x)?eG(x)f(x)

例4 设f(x)在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，f(0)?f(1)?0，f()?1，试证：

21k （1）存在??(,1)，使f(?)??。

21（2）对任意实数?，存在??(0,?)，使得f?(?)??[f(?)??]?1

证明：（1）令?(x)?f(x)?x，显然它在[0, 1]上连续，又

111?(1)??1?0,?()??0，根据介值定理，存在??(,1)使?(?)?0即f(?)??

222（2）令F(x)?e??x?(x)?e??x[f(x)?x]，它在[0,?]上满足罗尔定理的条件，故存

在??(0,?)，使F?(?)?0，即

e????f???????f???????1??0

从而 f?(?)??[f?(?)??] 1（注：在例4（2）的证明中，相当于模型Ⅰ中（1）的情形，其中l取为??，f(x)取为

?(x)?f(x)?x）

模型Ⅱ：设f(x)，g(x)在[a,b]上皆连续，（a,b）内皆可导，且f(a)?0，g(b)?0，则存在??(a,b)，使

f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0

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证：令F(x)?f(x)g(x)，则F(a)?F(b)?0，显然F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的

条件，则存在??(a,b)，使F?(?)?0，即证.

例5 设f(x)在[0, 1]上连续，（0, 1）内可导，f(0)?0，k为正整数。 求证：存在??(0,1)使得?f?(?)?kf(?)?f?(?)

证：令g(x)?(x?1)k，a?0,b?1，则f(0)?0，g(1)?0，用模型Ⅱ，存在

??(0,1)使得

kk?1f?(?)(??1)?k(??1)f(?)?0

故f?(?)(??1)?kf(?)?0 则?f?(?)?kf(?)?f?(?)

例6 设f(x),g(x)在(a,b)内可导，且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)，求证f(x)在(a,b)内任

意两个零点之间至少有一个g(x)的零点

证：反证法：设a?x1?x2?b，f(x1)?0，f(x2)?0而在(x1,x2)内g(x)?0，

则令F(x)?f(x)g(x)在[x1,x2]上用罗尔定理

[?f(x1)?f(x2)?0,?F(x1)?f(x1)g(x1)?0,F(x2)?f(x2)g(x2)?0]

（不妨假设g(x1)?0,g(x2)?0否则结论已经成立）

则存在??(x1,x2)使F?(?)?0，得出f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0与假设条件矛盾。所以在(x1,x2)内g(x)至少有一个零点

例7 设f(x),g(x)在[a,b]二阶可导，且g??(x)?0，又f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0 求证：（1）在（a,b）内g(x)?0；

f??(?)g??(?)f(?)g(?)7

（2）存在??(a,b)，使?

证：（1）用反证法，如果存在c?(a,b)使g(c)?0，则对g(x)分别在[a,c]和[c,b]

上用罗尔定理，存在x1?(a,c)使g?(x1)?0，存在x2?(c,b)使g?(x2)?0，再对g?(x)在[x1,x2]上用罗尔定理存在x3?(x1,x2)使g??(x3)?0与假设条件g??(x)?0矛盾。所以在(a,b)内g(x)?0 （2）由结论可知即f??(?)g(?)?f(?)g??(?)?0，因此

令F(x)?g(x)f'(x)?g'(x)f(x)，可以验证F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，F(a)?F(b)?0满足罗尔定理的三个条件 故存在??(a,b)，使F?(?)?0 于是f??(?)g(?)?f(?)g??(?)?0成立

? 例8 已知函数f(x)在[0,1]上三阶可导，且f(0)??1,f(1)?0,f?(0)?0，试证至

x(x?1)3!2少存在一点??(0,1)，使f(x)??1?x?2f???(?),x?(0,1)（2004）

二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理

例1 设f(x)在(??,??)内可导，且limf?(x)?e，lim(x??x??x?cx?c)x?lim[f(x)?f(x?1)]

x?? 求c的值 解：由条件易见，c?0

x?cx?c(1?)?limxx??cxcx))xlim(x???xeec?c?e2c

(1?由拉格朗日中值定理，有

f(x)?f(x?1)?f?(?)[x?(x?1)]?f?(?)

其中?介于(x?1)与x之间，那么 lim[f(x)?f(x?1)]?lim f?(?)?e

x??x??(???)于是e2c?e，2c?1，则c?12

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例2 设f(x)是周期为1的连续函数，在（0，1）内可导，且f(1)?0，又设M?0是f(x)在[1，2]上的最大值，证明：存在??(1,2)，使得f?(?)?2M。

证：由周期性可知f(0)?f(1)?f(2)?0，不妨假定x0?(1,2)而f(x0)?M?0，

对f(x)分别在[1, x0]和[x0, 2]上用拉格朗日中值定理，

存在?1?(1,x0)，使得f?(?1)?f(x0)?f(1)x0?1 ①

存在?2?(x0,2)，使得f?(?2)?f(2)?f(x0)2?x0 ②

如果x0?(1,3232)，则用①式，得f?(?1)?f(x0)x0?1?2M；

如果x0?[,2)，则用②式，得f?(?2)??f(x0)2?x0?2M；

因此，必有??(1,2)，使得f?(?)?2M

例3 设f(x)在[0, 1]上连续，（0, 1）内可导，且f(0)?0，f(1)?1，证明：

（Ⅰ）存在??(0,1)，使得f(?)?1??

（Ⅱ）存在?,??(0,1)，???，使f?(?)f?(?)?1

证：（Ⅰ）令g(x)?f(x)?x?1，则g(x)在[0, 1]上连续，且g(0)??1?0，

g(1)?1?0，用介值定理推论存在??(0,1)，使g(?)?0，即f(?)?1??

（Ⅱ）在[0, ?]和[?，1]上对f(x)用拉格朗日中值定理，存在??(0,?)，使

f(?)?f(0)1??得f?(?)???0??

存在??(?,1)，???，使f?(?)?f(1)?f(?)1???1?(1??)1????1??

∴ f?(?)?f?(?)?1

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? 例4 设?(x)在[0,1]上可导，且?(0)?0,?(1)?1。证明：存在(0,1)内的两个

数?与?，使

1??(?)?2??(?)（2003） ?3。

例5 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，且f?(x)?0，若极

限limx?af(2x?a)?x?a存在，证明：

（1）在(a,b)内f(x)?0； （2）在(a,b)内存在?，使

b?a22?ba?2?f(?)；

f(x)dx （3）在(a,b)内存在与（2）中?相异的点?，使

22f?(?)(b?a)???a?2?baf(x)dx

证：（1）因为limx?af(2x?a)?x?a存在，故limf(2x?a)?0，由f(x)在[a,b]上

x?a?连续，从而f(a)?0. 又f?(x)?0知f(x)在(a,b)内单调增加，故

f(x)?f(a)?0,x?(a,b)

（2）设F(x)?x2,g(x)??xaf(t)dt(a?x?b)，

则g?(x)?f(x)?0，故F(x)，g(x)满足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内

存在点?，使

F(b)?F(a)g(b)?g(a)?b?a22aa?ba?f(t)dt?2?f(?)(?(x)?xa2f(t)dt??2f(t)dt)?x??，

即

b?a2?ba

f(x)dx （3）因f(?)?f(?)?0?f(?)?f(a)，在[a,?]上应用拉格朗日中值定理，知在

(a,?)内存在一点?，使f(?)?f?(?)(??a)，从而由（2）的结论得

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