平行线知识点+四大模型

平行线四大模型

平行线的判定与性质

l、平行线的判定

根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．

判定方法l：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

简称：同位角相等，两直线平行．

判定方法2：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．

简称：内错角相等，两直线平行，

判定方法3：

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

简称：同旁内角互补，两直线平行，

如上图：

若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；

若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；

若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．

另有平行公理推论也能证明两直线平行：

平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

2、平行线的性质

利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同

旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．

性质1：

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．

简称：两直线平行，同位角相等

性质2：

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.

简称：两直线平行，内错角相等

性质3：

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．

简称：两直线平行，同旁内角互补

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本讲进阶平行线四大模型

结论

结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.

结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；

CD.

结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥

结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.

结论

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结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.

巩固练习平行线四大模型证明

（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°

. （2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．

（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.

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（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF

.

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模块一平行线四大模型应用

例1

（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．

(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．

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(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .

(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．

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练

(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．

.

(2) 如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C=

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例2

如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系

.

练

如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =

n 1∠ABF ，∠FDC =n

1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ；

(2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；

(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.

例3

如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．求证：∠E= 2 (∠A+∠C) .

练

如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.

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第 11 页 共 12 页 例4

如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A +∠B +∠C +∠D = 180°．

练

（武昌七校 2015-2016 七下期中）如图，AB ⊥BC ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，AE ⊥DE ，∠l +∠2= 90°，M 、N 分别是BA 、 CD 的延长线上的点，∠EAM 和∠EDN 的平分线相交于点 F 则∠F 的度数为（ ）．

A . 120°

B . 135°

C . 145°

D . 150°

模块二 平行线四大模型构造

例5

如图，直线AB ∥CD ，∠EF A = 30°，∠FGH = 90°，∠HMN =30°，∠CNP = 50°，则

∠GHM = .

练

如图，直线AB ∥CD ，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF + ∠CHG = .

例6 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．

练

已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数

.

(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的

关系．

(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．

(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．

如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．

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