九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质26.2.3求

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26．2 二次函数的图象与性质

3 求二次函数的表达式

知|识|目|标

1．通过实践、观察、比较和归纳，能根据题目的条件，选择恰当的方法，求出二次函数的表达式．

2．通过回顾、迁移与应用，能求平移、旋转等运动后的二次函数的表达式．

目标一能用恰当的方法求二次函数的表达式

例1 教材补充例题已知某二次函数满足下列条件，求二次函数的表达式．

(1)图象经过点A(1，3)，B(－2，12)，C(－1，5)三点；

(2)图象经过点A(1，0)，B(0，－3)，且对称轴是直线x＝2；

(3)图象与x轴交点的横坐标分别是－2和3，且函数有最小值－3.

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【归纳总结】二次函数表达式的类型及适用情况：

例2 教材补充例题 (1)把抛物线y ＝－2x 2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，求所得抛物线的函数表达式；

(2)把二次函数y ＝1

2x 2－2x －2的图象在坐标平面内绕点(0，0)旋转180°，求旋转后的抛物线

的函数表达式；

(3)已知二次函数y ＝ax 2＋x ＋1的图象的顶点在x 轴上，求这个函数的表达式．

【归纳总结】求平移、旋转后抛物线的表达式的技巧：

(1)平移抛物线，二次项系数不变，顶点坐标变化；(2)绕顶点旋转抛物线，二次项系数符号要变，顶点坐标不变；(3)抛物线顶点在横轴上移动，顶点纵坐标为零，抛物线顶点在纵轴上移动，一次项系数为零．

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知识点一用待定系数法求二次函数的一般式

求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式，关键是求出待定系数a，b，c的值．由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的表达式．

知识点二用待定系数法求二次函数的顶点式或交点式

当已知条件中有顶点坐标、对称轴方程或最大(小)值时，用顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)求二次函数的表达式比较简单．有时还用交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)(其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标)求二次函数的表达式．

已知抛物线的顶点坐标为(－2，－3)，且经过点(1，0)，求抛物线的函数表达式．

解：∵抛物线的顶点坐标为(－2，－3)，①

∴抛物线的函数表达式为y＝(x＋2)2－3，②

即y＝x2＋4x＋1.③

以上解答从第________步开始出现错误，错误的原因是不能直接设二次项系数为________．请写出正确的解答过程．

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. 教师详解详析

【目标突破】

例1 [解析] (1)条件给出的是图象上三个点的坐标，故可设表达式为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ；

(2)条件给出的是图象上两个点的坐标和顶点的横坐标，故可设表达式为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ；(3)条件给出的是图象与x 轴交点的横坐标，故可设表达式为交点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)． 解：(1)设所求二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c.

由已知，将(1，3)，(－2，12)，(－1，5)分别代入表达式，得

???3＝a ＋b ＋c ，12＝4a －2b ＋c ，5＝a －b ＋c ，解得???a ＝2，

b ＝－1，

c ＝2，

∴所求二次函数的表达式为y ＝2x 2－x ＋2.

(2)设所求二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c.

∵图象经过点A(1，0)，B(0，－3)，将点A ，B 的坐标代入上式，得?

??a ＋b ＋c ＝0，c ＝－3， ∴a ＋b ＝3.

又∵图象的对称轴是直线x ＝2，∴－b 2a

＝2. 解方程组???a ＋b ＝3，－b 2a

＝2，得???a ＝－1，b ＝4， ∴a ＝－1，b ＝4，c ＝－3.

故所求二次函数的表达式为y ＝－x 2＋4x －3.

(3)设该二次函数的表达式为y ＝a(x －x 1)(x －x 2)．

由题意，得y ＝a(x ＋2)(x －3)＝ax 2－ax －6a.

∵y 有最小值－3，

∴4a ·（－6a ）－（－a ）24a

＝－3. ∵a ≠0，∴a ＝1225

， ∴所求二次函数的表达式为y ＝1225x 2－1225x －7225

. 例2 解：(1)由二次函数图象的平移规律可知，将抛物线y ＝－2x 2先向右平移1个单位所得抛物线的函数表达式为y ＝－2(x －1)2，再向上平移2个单位后，所得抛物线的函数表达式为y ＝－2(x －1)2＋2.

(2)∵y ＝12x 2－2x －2＝12(x －2)2－4，∴其图象的顶点坐标是(2，－4)，故二次函数y ＝12

x 2－2x －

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. 2的图象在坐标平面内绕点(0，0)旋转180°后，图象对应的二次函数的表达式为y ＝－12

(x ＋2)2＋4.

(3)∵顶点在x 轴上，∴4ac －b 24a ＝4a －14a ＝0，解得a ＝14

， ∴这个函数的表达式为y ＝14

x 2＋x ＋1.

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. 【总结反思】

[反思] ② 1

正确的解答过程：

∵抛物线的顶点坐标为(－2，－3)，

∴设抛物线的函数表达式为y ＝a(x ＋2)2－3.

将(1，0)代入上式，得0＝9a －3，解得a ＝13

， ∴y ＝13(x ＋2)2－3，即y ＝13x 2＋43x －53

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