2012年中考数学试题分类解析31 与圆有关的位置关系

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第三十一章 与圆有关的位置关系

31.1 直线与圆的位置关系

11.（2012山东省荷泽市，11，3）如图，PA 、PB 是⊙o 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙o 的直径，若∠

P =46°，则∠BAC =______.

【解析】因为P A 、PB 是⊙o 的切线，所以P A =PB ，OA ⊥P A ，又因∠P =46°，

所以∠PAB =67°，所以∠BAC =∠OAP －∠PAB =90°－67°=23°，

【答案】23°

【点评】当圆外一点向圆引两条切线，可以利用切线长定理及切线的性质定理，

利用等腰三角形的性质及及垂直的性质来计算角的度数.

14.（2012连云港，14，3分）如图，圆周角∠BAC =55°，分别过B 、C 两点作⊙

O 的切线，两切线相交于点P ，则∠BPC = °。

【解析】连结OB ，OC ，则OB ⊥PB ，OC ⊥PC 。则∠BOC =110°，在四边形

PBOC 中，根据四边形的内角和为360°，可得∠BPC =70°。

【答案】70

【点评】本题考查了圆周角与圆心角的关系以及切线的性质。

14. （2012湖南湘潭，14，3分）如图，ABC 的一边AB 是⊙O 的直径，请你添加一个条件，使BC 是⊙O 的切线,你所添加的条件为 .

第14题图

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【解析】根据切线的定义来判断，BC ⊥AB ，或∠ABC =900。

【答案】BC ⊥AB ，或∠ABC =900。

【点评】此题考查切线的定义。圆的切线垂直于过切点的半径。

20. （2012浙江丽水8分，20题）（本题8分）如图，AB 为⊙O 的直径，EF 切⊙O 于点D ，过点B 作BH ⊥EF 于点H ，交⊙O 于点C ，连接BD .

（1）求证：BD 平分∠ABH ；

（2）如果AB =12，BC =8，求圆心O 到BC 的距离

.

【解析：】（1）欲证BD 平分∠ABH ，只需证∠OBD =∠DBH .连接OD ，则∠OBD =∠ODB ，为止只需证∠ODB =∠DBH 即可.（2）过点O 作OG ⊥BC 于点G ，在Rt △OBG 中，利用勾股定理即可求得OG 的值.

【解】：（1）证明：连接OD .

∵EF 是⊙O 的切线，∴OD ⊥EF .

又∵BH ⊥EF ，∴OD ∥BH ，

∴∠ODB =∠DBH .

而OD =OB ，∴∠ODB =∠OBD ，

∴∠OBD =∠DBH ，

∴BD 平分∠ABH .

（2）过点O 作OG ⊥BC 于点G ，则BG =CG =4，

在Rt △OBG 中，OG =52462222=-=-BG OB .

【点评】：已知圆的切线，常作过切点的半径构造直角三角形，以便于利用勾股定理求解问题.

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- 3 - 20.（2012福州，20，满分12分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E 。

（1）求证：AC 平分∠DAB ；

（2）若∠B =60°，CD

=AE 的长。

解析：（1）由CD 是⊙O 的切线，

C 是切点，故优先考虑连接OC ，则OC ⊥C

D ，AD ∥OC ，因此易证AC 平分∠DAB ；（2）由∠

B =60°，可联想到30°的直角三角形及用解直角三角形的方法求出AE ，由∠B =60°，可得∠

1=∠3=30°，因为CD

=AC

=，从而可求得AB 的长，连接OE ，易知

△OEA 是等边三角形，故可求得AE 的长，本题还可连接CE 、AB 等来求出AE 。

答案：（1）证明：如图1，连接

OC ，

∵CD 为⊙O 的切线

∴OC ⊥CD

∴∠OCD =90°

∵AD ⊥CD

∴∠ADC =90°

∴∠OCD +∠ADC =180°

∴AD ∥OC

∴∠1=∠2

∵OA =OC

∴∠2=∠3

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- 4 - ∴∠1=∠3

即AC 平分∠DAB 。

（2）解法一：如图

2

∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ACB =90°

又∵∠B =60°

∴∠1=∠3=30°

在Rt △ACD 中，CD

=∴AC =2CD

=在Rt △ABC 中，AC

=

∴08cos cos 30AC AB C AB ===∠

连接OE

∵∠EAO =2∠3=60°，OA =OE ∴△EAO 是等边三角形 ∴AE =OA =1

2A B =4.

解法二：如图3，连接CE

∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ACB =90°

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- 5 - 又∵∠B =60°

∴∠1=∠3=30°

在Rt △ACD 中，CD

=

∴06tan tan 30C D

AD D AC ===∠

∵四边形ABCE 是⊙O 的内接四边形

∴∠B +∠AEC =180°

又∵∠AEC +∠DEC =180°

∠DEC =∠B =60°

在Rt △CDE 中，CD

=

∴2tan tan 60D C

D E D EC ===∠

∴AE =AD －DE =4.

点评：本题通过在圆中构造有关图形，考查了圆的切线等有关性质，平行线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质及解直角三角形；考察逻辑思维能力及推理能力，

具有较强的综合性，难度中等。

23（2012贵州铜仁，23，12分）．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD

相交于点E ， AB ⊥CD ，⊙O 的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ．

（1）求证：CD ∥ BF ；

（2）若⊙O 的半径为5， cos ∠BCD =54

，求线段AD 的长．

【分析】（1）由BF 是圆O 的切线，AB 是圆O 的直径，根据切线的性质，可得到

BF ⊥AB ，然后利用平行线的判定得出CD ∥BF

23题图

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（2）由AB 是圆O 的直径，得到∠ADB =90o ，由圆周角定理得出∠BAD =∠BCD ，再根据三角函数cos ∠BAD = cos ∠BCD =5

4=

A D A B

即可求出AD 的长

【解析】（1）证明：∵BF 是圆O 的切线，AB 是圆O 的直径

∴BF ⊥AB ∵CD ⊥AB ∴CD ∥BF （2）解：∵AB 是圆O 的直径

∴∠ADB =90o ∵圆O 的半径5 ∴AB =10 ∵∠BAD =∠BCD ∴ cos ∠BAD = cos ∠BCD =

45=

A D A B

∴105

4cos ?=?∠=AB BAD AD =8

∴AD =8

【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理和解直角三角形，此题难度适中。圆是一个特殊的几何体，它有很多独到的几何性质，知识点繁多而精粹。圆也是综合题中的常客，不仅会联系三角形、四边形来考察，代数中的函数也是它的友好合作伙伴。因此圆在中考中占有重要的地位，是必考点之一。在近几年各地的中考中,圆的有关性质,如垂径定理、圆周角、切线的判定与性质等一般以计算或证明的形式考查，与圆有关的应用题、阅读理解题、探索存在性问题仍是中考命题的热点.

23. (2012湖北随州，23，10分) 如图，已知直角梯形ABCD ，∠B =90°，AD ∥BC ，并且

AD +BC =CD ，O 为AB 的中点.

（1）求证：以AB 为直径的⊙O 与斜腰CD 相切； （2）若OC =8cm ，OD =6cm ，求CD 的长.

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解析:（1）过AB 的中点O 作OE ⊥CD 于E.证明OE 的长等于半径即可.（2）证明∠COD =900，

运用勾股定理求值..

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