2012年高考数学精英备考专题讲座：第一讲 函数 理科

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第一讲 函数

第一节 初等函数

函数是高中知识的主干知识，是高中知识的一条主线，它涉及了函数的概念和性质，基本初等函数，数列，不等式，方程，导数，解析几何和立体几何等，是历年高考的重点、热点和必考点.初等函数（由基本初等函数经过运算或复合组成的）是基础. 一般地, 在高考试题中，考察函数知识都是以初等函数为载体.单独以定义域、值域、奇偶性等命题大多是选择题或填空题，综合题中涉及函数性质的往往只是试题的一部分. 难度值一般控制在0.5～0.8之间. 考试要求： ①了解映射概念,理解函数的概念,会选择适当方法表示函数;②会求一些简单函数的定义域和值域；③了解函数的奇偶性,能判断简单函数的奇偶性；④了解反函数的概念及指数函数x a y =与对数函数x a y log =互为反函数；⑤理解有理指数幂的含义,掌握幂的运算(性质),掌握指数函数、对数函数的概念,对数的运算性质. 题型一 判定初等函数的性质 例1 求函数1sin sin 2

1

sin 3223--+=

x x x y 的值域. 点拔 函数是三次函数与三角函数复合函数而成的，令sin ,[1,1]t x t =∈-得

3221

132

y t t t =+--，本题

就转化为求32

21132

y t t t =+--，[1,1]t ∈-的值域. 三次函数求值域常用导数的方法.

解 sin ,[1,1]t x t =∈-令,则3221

()132

y f t t t t ==+--,∴

221(21)(1)y t t t t '=+-=-+,

由0y '>,得1

t >或1t <-；由0y '<,，得11t -<<

，列表：

1,2

t ∴=函数有极小值12111131

23824224()1f =?+?--=-

又2

1

1

3

2

6

(1)11,f -=-++-=-,2

1

5

3

2

6

(1)11f =+--=-,∴311

24

6

[,]y ∈-

-.

易错点 ①令sin ,[1,1]t x t =∈-，忽略了[1,1]t ∈-；②错误地认为最值一定在端点处取得.

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21世纪教育网 www 3bf95ee94afe04a1b071debe 精品资料·第 2 页 （共 30 页） 版权所有@21世纪教育网 变式与引申1： 函数3sin 1sin 2x+y x =

-的值域为_____________ 题型二 抽象函数的性质

例2 已知函数f x ()对任意实数x y ，都有()()()f x y f x f y +=+，且当x >0时， f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域.

点拔 此题()f x 是抽象函数，但是初等函数中，可以找到一个具体函数满足条件，如x x f 2)(=，由此

猜想抽象函数()f x 在[]2,1-是递增函数，再用定义证明递增.：设x x 12<，且x x R 12，∈，则x x 210->，再利用0,()0x f x >>判断1()f x 与2()f x 的大小关系.下面只要求出(2),(1)f f -的值就行.

解 设x x 12<，且x x R 12，∈，则x x 210->，由条件当x >0时，f x ()>0 ∴->f x x ()210又)()()()[()(11121122x f x f x x f x x x f x f >+-=+-=

∴f x ()为增函数， 令0x y ==得(0)0f =，再令用1,1x y ==-得出2)1()1(=-=∴f f ,

令1x y ==- 得f f ()()-=-=-2214 ∴-f x ()[]在，21上的值域为]24[，

- 易错点 利用性质“当x >0时，()0f x >”证明单调性，易出错.

变式与引申2： 设函数y=)(x f 是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件： ①对任意正数y x ,有)()()(y f x f xy f +=；②当1>x 时，0)(

(1)求)9

1

()1(f f 、的值; （2）证明()()f x +∞在0，上是减函数. 题型三 函数奇偶性的判断

例3 判断函数2()(0,)a

x f x x x a R =+≠∈的奇偶性. 点拔 利用定义判断函数的奇偶性：第一步：看定义域是否关于原点对称:若定义域不关于原点对称，则

为非奇偶非函数；若定义域关于原点对称，则进行第二步：验证()f x -与()f x 的关系，若

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21世纪教育网 www 3bf95ee94afe04a1b071debe 精品资料·第 3 页 （共 30 页） 版权所有@21世纪教育网 ()()f x f x -=（或()()()0,1()

f x f x f x f x --==-）则()f x 为偶函数；若()()f x f x -=- （或()()()0,1()

f x f x f x f x +-==--）则()f x 为奇函数.当难于得出()()f x f x -≠和 ()()f x f x -≠-的时候，可以考虑验证特殊值.

解 当0a =时，2()f x x =为偶函数； 当0a ≠时，(1)1,(1)1f a f a =+-=-,

∵0a ≠,∴11,()()a a f x f x -≠+-≠；∵0a ≠,(1)1a a --≠+，()()f x f x --≠,∴()f x 既不是奇函数也不是偶函数.

易错点 ①用定义判断奇偶性时，容易漏掉0a =的情况.

②0a ≠的情况难于得出()f x -与()f x 的关系，易出错.

变式与引申3： 设a 为实数，函数2()||1()f x x x a x R =+-+∈．讨论()f x 的奇偶性. 题型四 函数思想的应用

例4 关于 x 的方程2||10x x a -+-=有四个不同的解，求a 的取值范围.

点拔 此题有多种思考方法：法1： 原方程看作含绝对值的方程，则采用去绝对值的方法，分段讨论解一

元二次方程：210(0)x x a x -+-=>和210(0)x x a x -+-=<.原方程有四个不同的解，等价于210(0)x x a x -+-=>有2个不等的正解，且210(0)x x a x -+-=<有2个不同的负数解.问题就转化为两个一元二次方程根的分布问题.

法2：把原方程看作是关于x 的一元二次方程，则令,0t x t =>，则原问题等价于210t t a -+-=有2个不等的正数解.

法3：采用函数思想来观察方程，则可以把原方程变为：2||1x x a -+=-，问题等价于函数2||y x x a =-+和1y =-的图像有四个不同的交点.事实上，我们还有下面各种变形：22||1,||1.x x a x x a --=--=-

解 法1 2||10x x a -+-=有四个不同的解等价于2

10(0)x x a x -+-=>有2个不等的正解，

且210(0)x x a x -+-=<有2个不同的负数解.

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210(0)x x a x -+-=>有2个不等的正解1212

014(1)0

501410

0a x x a R

a a x x ?>-->????

∴+>?∈?<>?? 210(0)

x x a x -+-=<有2个不同的负数解

1212

014(1)0

501410

0a x x a R a a x x ?>-->????

∴+>??

综上所述：514

a <<

. 法2 令,0t x t =>则原问题等价于2

10t t a -+-=有2个不等的正数解.

1212

014(1)0

501410

0a t t a R a a t t ?>-->????

∴+>??.

法3 在同一直角坐标系内画出直线1y =与曲线2||y x x

=-+a 的取值必须满足4141

1

a a ->???

易错点 ①作为二次方程分类，运算量大，易出错;

②,t x =易忽略0t >;

③同学们很难将四个不同解等价转化其它问题. 变式与引申4：

（2011年北京卷。理）已知函数32

,

2()(1),2x f x x x x ?≥?=??-

若关于x 的方程f (x )=k 有两个不同< …… 此处隐藏：21889字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……