2013北京市朝阳区高三第一学期期末数学理科试题word版含答案

北京市朝阳区 2012-2013 学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学测试题（理工类） （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分
2013.1
第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项. 1. 已知 i 是虚数单位，若复数 (1 ? ai)(2 ? i) 是纯虚数，则实数 a 等于 A． 2 B．
1 2
C． ?
1 2
D． ?2
2 2 2.“ k ? 1 ”是“直线 x ? y ? k ? 0 与圆 x ? y ? 1 相交”的
开始
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
输入 x
3.执行如图所示的程序框图．若输入 x ? 3 ，则输出 k 的值是 A． 3 C． 5 B． 4 D． 6
k ?0 x ? x?5 k ? k ?1
4.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为 F1 (? 5,0) ， 点 P 在双曲线上，且线段 PF1 的中点坐标为 (0, 2) ，则 此双曲线的方程是
x ? 23? 是
否
x2 ? y2 ? 1 A． 4 C．
y2 ?1 B． x ? 4 2
输出 k
x2 y2 ? ?1 2 3
D．
x2 y2 ? ?1 3 2
结束
5.某中学从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加社会公益活动， 若选出的 4 人中既有男生又有女生，则不同的选法共有 A． 140 种 B． 120 种 C． 35 种 D． 34 种[ 3
6.已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形，其正视图与俯视图如图所 示，则其侧视图的面积为 1 A．
3 4 3 4
B．
3 2
正视图
C．
D． 1
正 视 图 俯视图
1
2 2 7.设集合 A= x x ? 2 x ? 3 ? 0 ，集合 B= x x ? 2ax ? 1 ? 0, a ? 0 .若 A ? B 中恰含有一个整数，则实
?
?
?
?
数 a 的取值范围是 A． ? 0, ?
? ?
3? 4?
B． ? ,
?3 4 ? ? ?4 3 ?
C． ? , ?? ?
?3 ?4
? ?
D． ?1, ?? ?
8. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 中，点 P ， P 分别是线段 AB ， BD1（不包括端点）上的动点， 1 2 1 且线段 P 1 P2 平行于平面 A ADD1 ，则四面体 PP AB1 的体积的最大值是 1 2 1 A．
1 24
B．
1 12
C．
1 6
D．
1 2
第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上. 9. 已知数列 1, a1 , a2 ,9 是等差数列，数列 1, b1 , b2 , b3 ,9 是等比数列，则
b2 的值为 a1 ? a2
.
10. 如图， AB ， CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦，它们相交于 AB 的中点 P . 若 PD ?
2a ， ?OAP ? 30? ，则 AB = 3
， CP ?
（用 a 表示）.
O P
A D
C ? x …0, B ? 11.若关于 x ， y 的不等式组 ? y …x, （ k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则 ? kx ? y ? 1 …0 ?
k?
. ．
12. 在极坐标系中，过圆 ? ? 4cos ? 的圆心，且垂直于极轴的直线的

极坐标方程为
13.在直角三角形 ABC 中， ?ACB ? 90? ， AC ? BC ? 2 ，点 P 是斜边 AB 上的一个三等分点，则
??? ??? ??? ??? ? ? ? ? CP ? CB? CP? CA?
．
14. 将整数 1, 2,3,?, 25 填入如图所示的 5 行 5 列的表格中，使每一行的数字从左到 右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 .
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x) ? sin
x x x cos ? cos 2 ? 1 . 2 2 2
（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数 f ( x ) 在 [ ,
? ?? ] 上的最小值. ? ? 2
16. （本小题满分 14 分） 在长方体 ABCD-A B1C1D1 中， AA=AD=2 ，点 E 在棱 CD 上，且 CE= CD ． 1 1 （Ⅰ）求证： AD1 ? 平面 A1B1D ； D
1 3
E C
（Ⅱ）在棱 AA1 上是否存在点 P ，使 DP ∥平面 B1 AE ？ 若存在，求出线段 AP 的长；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）若二面角 A-B1 E-A1 的余弦值为 长． 17. （本小题满分 13 分） 某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽 取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为 100 分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部 污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： 频率分布表 频率分布直方图 频率 组距 A1 B1 A B
30 ，求棱 AB 的 6
D1 C1
组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
分组 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 合计
频数 8 a 20 ▓ 2 ▓
频率 0.16 ▓ 0.40 0.08 b ▓
0.040 x
▓ ▓ 0.008 y 50 60 70 80 90 100
成绩（分）
（Ⅰ）写出 a, b, x, y 的值； （Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取 2 名同学到广场参加环保 知识的志愿宣传活动，求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设 ? 表示所抽取的 2 名同学中来自第 5 组的人数，求 ? 的分布列及其数学期望. 18. （本小题满分 13 分）
1 已知函数 f ( x) ? a( x ? ) ? 2ln x (a ?R) ． x （Ⅰ）若 a ? 2 ，求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 f ( x ) 的单调区间；
a （Ⅲ）设函数 g ( x) ? ? ．若至少存在一个 x0 ? [1,e] ，使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立，求实数 a 的取值范围． x
3
19.（本小题满分 14 分） 已知点 A 是椭圆 C :
x2 y 2 ? ? 1? t ? 0 ? 的左顶点，直线 l : x ? my ? 1(m ?R ) 与椭圆 C 相交于 E , F 9 t 16 . 3
两点，与 x 轴相交于点 B .且当 m ? 0 时，△ AEF 的面积为
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设直线 AE ， AF 与直线

x ? 3 分别交于 M ， N 两点，试判断以 MN 为直径的圆是否经过点 B ？ 并请说明理由. 20. （本小题满分 13 分） 将正整数 1, 2,3, 4,?, n （ n ? 2 ）任意排成 n 行 n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的 2
任意两个数 a , b （ a ? b ）的比值
a ，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”. b
（Ⅰ）当 n ? 2 时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值” ； （Ⅱ）若 aij 表示某个 n 行 n 列数表中第 i 行第 j 列的数（ 1 ? i ? n ， 1 ? j ? n ） ，且满足
?i ? ( j ? i ? 1)n， i ? j, 请分别写出 n ? 3, 4,5 时数表的“特征值” ，并由此归纳此类数表的 aij ? ? ?i ? (n ? i ? j ? 1)n，i ? j, “特征值” （不必证明） ； （Ⅲ）对于由正整数 1, 2,3, 4,?, n 排成的 n 行 n 列的任意数表，记其“特征值”为 ? ，求证： ? ? 2
n ?1 . n
4
北京市朝阳区 2012-2013 学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学测试题答案（理工类） 一、选择题： 题号 答案 （1） A （2） A （10） （3） C （11） （4） B （5） D （12） （6） C
2013.1
（7） B （13）
（8） A （14）
二、填空题： 题号 （9） 答案
3 10
3a ；
9a 8
?1 或 0
? cos? ? 2
4
45 ； 85
（注：两空的填空，第一空 3 分，第一空 2 分） 三、解答题： （15） …… 此处隐藏：9113字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……