线性代数课件--2.3逆矩阵

§2.3 逆矩阵1、可逆矩阵 2、正交矩阵

概念的引入在数的运算中, 当数 a 0 时, 有

aa 1 a 1a 1其中 a 1

1 为 a 的倒数 (或称a的逆). a

在矩阵的运算中, 单位阵E相当于数的乘法运算中的1; 那么对于矩阵A, 如果存在一个矩阵 A 1 , 使得

AA 1 A 1 A E则称A为可逆矩阵, A 1为A 的逆阵.

类似在数的运算中，若 ax b 当数a 0 时，有

a ax a b 1 1

利用解得

aa a a 1, 1 1

x a ax a b 1 1

问题 对于线性方程组AX B 的求解，是否有 类似方法？ 即是否存在矩阵C,有CA AC E ,从而使得

X EX

CAX CB

1、可逆矩阵的概念和性质定义 对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B, 使得

AB BA E则称矩阵A是可逆的, 并把矩阵B称为A的逆矩阵.

A的逆矩阵记作 A 1 , 即 A 1 B注 可逆矩阵也称为非退化阵或非奇异阵.注 方阵才有可逆矩阵. 1 1 1 2 1 2 例 设 A , B 1 1 1 2 1 2

解

. 因为 AB BA E , 则B是A的一个逆矩阵

定理 (唯一性) 若A是可逆矩阵, 则其逆矩阵是唯一的. 证 设B和C 都是A的逆矩阵, 则有

AB BA E , AC CA E

可得 B EB (CA) B C ( AB ) CE C

所以A的逆矩阵是唯一的, 即 B C A 1逆矩阵的求法一：待定系数法 2 1 例 设 A , 求A的逆矩阵. 1 0 a b 解 设 B 是A的逆矩阵 c d

2 1 例 设 A , 求A的逆矩阵. 1 0 a 解 设 B c 2 则 AB 1 b 是A的逆矩阵 d 1 a b 1 0 0 c d 0 1

所以

0 1 A 1 2 1

2a c 1, a 0, 2b d 0, b 1, 2a c 2b d 1 0 b 0 1 a 0, a c 1, b 1, d 2. 又因为

AB

BA

2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1

a1 注 对角矩阵 A

a2

,其中 a a a 0 1 2 n an n n

对角矩阵A可逆, 且其逆矩阵 1 a1 A 1 1 an n n

1

a2

单位阵E可逆, 且其逆矩阵为其自身: E 1 E

逆矩阵的运算性质

1 若A可逆, 则A 亦可逆, 且 A A. 2 若A可逆, 数 0, 则 A可逆, 且 1 1 1

A A 1 . 1

1

3 若A, B为同阶方阵且均可逆则AB亦可逆, 且 , A B 1 1 B 1 A 1 1 1 推广 A1 A2 Am A

m A2 1 A1 .

4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 AT

T 1

A . 1 T

3 若A, B为同阶方阵且均可逆则AB亦可逆, 且 , A B 1 1 B 1 A证

( AB)( B 1 A 1 ) A( BB 1 ) A 1

AEA 1 AA 1 E故 ( AB) B AT 1 1 1

4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A故 ( AT ) 1 ( A 1 )T

T 1

A . 1 T

证 因 AT ( A 1 )T ( A 1 A)T E T E

( A B) 1例如：

A 1 B 10 2

0 1 1 0 1 A ,B ,C 0 1 0 1 0 2 0 A, B可逆，但A B 不可逆 0 0

2 0 A, C可逆，A C 可逆，但A 1 C 1 ( A C ) 1 0 1

故

( A B) 1 A 1 B 1

问：若方阵A、B和A B均为可逆阵，则A 1 B 1可逆吗？

例

设方阵A满足方程A2 A 2 E 0, 证明 :2

A, A 2 E都可逆, 并求它们的逆矩阵 .

证明 由A A 2 E 0,

A

1

A E E 得A A E 2 E A 2

A E 得 A E A 2E A E 21 A A E . 2 1

又由A2 A 2 E 0

A 2 E A 3 E 4 E 0 1 A 2 E A 3 E E 4 1 同理， A 3E A 2 E E 4

故A 2 E可逆 .且 A 2E 1

3E A 1 . A 3E 4 4

利用逆矩阵概念，可方便表出线性代数方程组的解. 事实上, 对 n×n(即n个n 元)线性代数方程组，

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 可简写为：

Ax = b

当A是可逆矩阵时，可表出其解为：

x = A-1 b

2、正交矩阵定义 对给定的方阵 A,若满足

A AT = AT A = I则称A为正交矩阵.

事实上，同逆矩阵的定义相比较发现，正交矩阵即为满足 -1 = AT A 的矩阵.

例 试证下面的矩阵均为正交阵

cos R sin

sin cos , G sin cos

sin cos

解 ： 我们有