偏微分方程期末复习笔记

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《偏微分方程》期末考试复习

一、波动方程（双曲型方程）utt a2uxx f(x,t)

（一）初值问题（柯西问题）

utt a2uxx f(x,t)

1、一维情形 ut 0 (x)

utt 0 (x)

（1）解法（传播波法）：

由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，

utt a2uxx 0 utt a2uxx f(x,t)

（I） ut 0 (x) （Ⅱ） ut 0 0

u (x) utt 0 0 tt 0

其中，问题（I）的解由达朗贝尔公式给出：

u(x,t)

(x at) (x at)

2

t

1x at ( )d 2a x at

由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：u(x,t)

W(x,t; )d

Wtt a2Wxx 0

其中，W(x,y,z,t; )是下述初值问题的解： Wt 0，

Wtt f(x, )

1x a(t )

f( , )d 利用达朗贝尔公式得W(x,t; ) x a(t )2a

从而问题（Ⅱ）的解为：

1tx a(t )

u(x,t) f( , )d d

2a 0 x a(t )

综上所述，原初值问题的解为：

u(x,t)

(x at) (x at)

2

1x at1tx a(t )

( )d f( , )d d

2a x at2a 0 x a(t )

（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征线：

①依赖区间：点(x , t)的依赖区间为：[x-at , x+at];

②决定区域：区间[x1,x2]的决定区域为：{(x,t)|x1 at x x2 at}

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③影响区域：区间[x1,x2]的影响区域为：{(x,t)|x1 at x x2 at} ④特征线：x x0 at （3）解的验证：见课本P10, P14

utt a2(uxx uyy uzz) f(x,y,z,t)

2、三维情形 ut 0 (x,y,z)

utt 0 (x,y,z)

（1）解法（球面平均法）：

由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，

utt a2(uxx uyy uzz) 0 utt a2(uxx uyy uzz) f(x,y,z,t) u (x,y,z)（I） t 0 （Ⅱ） ut 0 0 u (x,y,z) tt 0 utt 0 0

其中，问题（I）的解由泊松公式给出：

11

u(x,y,z,t) dS dS 2 t 4 a2tS4 atMM Satat

由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：u(x,y,z,t) W(x,y,z,t; )d

t

Wtt a2(Wxx Wyy Wzz) 0

其中，W(x,y,z,t; )是下述初值问题的解： Wt 0，

Wtt f(x,y,z, )

利用泊松公式得W(x,y,z,t; ) 从而问题（Ⅱ）的解为：

1 f( , , , )

dS 4 aSMr r a(t )

a(t )

u(x,y,z,t)

综上所述，原初值问题的解为：

14 a2

r at

r

f( , , ,t )

r

111

u(x,y,z,t) dS dS 2 2 t 4 a2tS4 at4 aMM Satat

r at

r

f( , , ,t )

r

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（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、惠更斯原理（无后效现象）：

①依赖区域（球面）：点(x0,y0,z0,t)的依赖区域为

2

； (x x0)2 (y y0)2 (z z0)2 a2t0

2

②决定区域（锥体）：球面(x x0)2 (y y0)2 (z z0)2 a2t0决定区域为：

(x x0)2 (y y0)2 (z z0)2 a2(t0 t)2 (t t0)；

③影响区域（锥面）：点(x0,y0,z0,0)的影响区域为：

(x x0)2 (y y0)2 (z z0)2 a2t2 (t 0)

④特征锥：(x x0)2 (y y0)2 (z z0)2 a2(t0 t)2 惠更斯原理（无后效现象）见课本P35

（3）解的验证：见课本P29, P32

utt a2(uxx uyy) f(x,y,t)

3、二维情形 ut 0 (x,y)

utt 0 (x,y)

（1）解法（降维法）：

由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，

utt a2(uxx uyy) 0 utt a2(uxx uyy) f(x,y,t) u (x,y)（I） t 0 （Ⅱ） ut 0 0 u (x,y) tt 0 utt 0 0

其中，问题（I）的解由二维泊松公式给出：

1 ( , ) ( , )

u(x,y,t) d d d d 2222222 a t MM(at) ( x) ( y)(at) ( x) ( y) atat

由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：u(x,y,t)

W(x,y,t; )d

t

Wtt a2(Wxx Wyy) 0

其中，W(x,y,t; )是下述初值问题的解： Wt 0，

Wtt f(x,y, )

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r

f( , ,t ) 1a利用泊松公式得W(x,y,t; ) 2 2 a Mr ( x)2 ( y)2r

从而问题（Ⅱ）的解为：

d d r a(t )

r

f( , ,t )

1at u(x,y,t) 2 2 a2 0 Mr ( x)2 ( y)2r

综上所述，原初值问题的解为：

d d r a(t )

1 ( , ) ( , )

u(x,y,t) d d d d

2222222 a t MM (at) ( x) ( y)(at) ( x) ( y) atat r

f( , ,t ) 1at d d 2 2 0222 aM

r ( x) ( y) r r a(t )

（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、后效现象：

①依赖区域（圆饼）：点(x0,y0,t)的依赖区域为

2

； (x x0)2 (y y0)2 a2t0

2

②决定区域（锥体）：圆饼(x x0)2 (y y0)2 a2t0决定区域为：

(x x0)2 (y y0)2 a2(t t0)2 (t t0)；

③影响区域（锥体）：点(x0,y0,0)的影响区域为：

(x x0)2 (y y0)2 a2t2 (t 0)

④特征锥：(x x0)2 (y y0)2 a2(t0 t)2 后效现象见课本P35、36

（3）解的验证：课本没有，有兴趣的童鞋自己动手丰衣足食。

utt a2uxx f(x,t)

ut 0 (x)

（二）初边值问题

utt 0 (x) u u 0

x l x 0

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（1）解法（分离变量法）：

由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，

utt a2uxx 0 utt a2uxx f(x,t) u (x) t 0 ut 0 0（I） （Ⅱ）

u (x)u 0 tt 0 tt 0 u u 0 u u 0x 0x lx l x 0

用分离变量法（过程请脑内补完）得到（I）的解为：

k ak a k

u(x,t) Akcost Bksint sinx

ll lk 1

2lk

A ( )sin d k 0 ll 其中 2lk

Bk ( )sin d k a 0l

用齐次化原理得到（Ⅱ）的解：

u(x,t) Bk( )sin

k 1

t

k ak

(t )d sinx ll

从而原初边值问题的解为：

tk ak a k k ak

u(x,t) Akcost Bksint sinx Bk( )sin(t )d sinx

0ll lllk 1 k 1

注：非齐次边界条件的情形见课本P21、22

（2）解的验证、相容性条件（见课本P19）

相容性条件：函数 (x) C3, (x) C2，并且 (0) (l) "(0) "(l) (0) (l) 0

二、热传导方程（抛物型方程）ut a2uxx f(x,t)

u a2u 0txx

（一）初边值问题 ut 0 (x)

ux 0 ux l 0

（注：由于老师讲课以及课后习题中都没有非齐次方程的初边值问题，估计不会考；但是边界条件有可能给第一、第二 …… 此处隐藏：3922字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……