2012年全国初中数学联赛试题参考答案

2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．

已知a

1，b

c 2，那么a,b,c的大小关系是 （ C ）

A. a b c B. a c b C. b a c D.b c a

2．方程x 2xy 3y 34的整数解(x,y)的组数为 （ B ） A．3. B．4. C．5. D．6.

3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为 （ D ）

A

．

2

2

B

． C

． D

． 3333

2

2

4

4

4．已知实数a,b满足a b 1，则a ab b的最小值为 （ B ） A．

19. B．0. C．1. D．. 88

2

5．若方程x 2px 3p 2 0的两个不相等的实数根x1,x2满足x1 x1 4 (x2 x2)，则实数p的所有可能的值之和为 （ B ）

A．0. B．

2323

35

. C． 1. D． .

44

，要求满足a c b d.这样的四6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd（数字可重复使用）

位数共有 （ C ）

A．36个. B．40个. C．44个. D．48个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1．已知互不相等的实数a,b,c满足a

m

111

b c t，则t bca

1

．

2．使得5 2 1是完全平方数的整数m的个数为．

3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则

BC

＝． AP

abc4

4．已知实数a,b,c满足abc 1，a b c 4，2 2 2 ，则

a 3a 1b 3b 1c 3c 19

332

．

a2 b2 c2＝

第二试 （A）

一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积. ，则a b c 30. 解 设直角三角形的三边长分别为a,b,c（a b c）显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c，下面先求c的值. 由a b c及a b c 30得30 a b c 3c，所以c 10. 由a b c及a b c 30得30 a b c 2c，所以c 15. 又因为c为整数，所以11 c 14.

根据勾股定理可得a b c，把c 30 a b代入，化简得ab 30(a b) 450 0，所以

2

2

2

(30 a)(30 b) 450 2 32 52，

2

a 5, 30 a 5,

因为a,b均为整数且a b，所以只可能是 解得

2

b12. 30 b 2 3,

所以，直角三角形的斜边长c 13，三角形的外接圆的面积为

169

. 4

2

二．（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明：AD BD CD.

证明：连接OA，OB，OC.

∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得PA PD PO，AD PD OD.

又由切割线定理可得PA PB PC，∴PB PC PD PO，∴D、B、C、O四点共圆， ∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，

2

22

PDBD2

，∴AD PD OD BD CD.

CDOD

12

三．（本题满分25分）已知抛物线y x bx c的顶点为P，与x轴的正半轴交于A(x1,0)、

6

3

B(x2,0)（x1 x2）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.设M(0, ，若AM//BC，

2

∴

求抛物线的解析式.

解 易求得点P(3b,b c)，点C(0,c).

设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为(3b,m). 显然，x1,x2是一元二次方程

3

2

2

12

x bx c 0的两根，所

以x1 3b

，6

x2 3b，又AB的中点E的坐标为(3b,0)，所以AE

.

因为PA为⊙D的切线，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得AE PE

DE，即

2

3

2 (b2 c) |m|，又易知m 0，所以可得m 6.

2

又由DA＝DC得DA

DC，即 m (3b 0) (m c)，把m 6代入后可解得c 6（另一解c 0舍去）.

2

2

2

2

2

2

3| |

OAOM

. 又因为AM//BC，所以

OBOC| 6|

把c 6代入解得b

55

（另一解b 舍去）. 22

125

因此，抛物线的解析式为y x x 6.

62

第二试 （B）

一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积. ，则a b c 60. 解 设直角三角形的三边长分别为a,b,c（a b c）显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c，下面先求c的值. 由a b c及a b c 60得60 a b c 3c，所以c 20.

由a b c及a b c 60得60 a b c 2c，所以c 30. 又因为c为整数，所以21 c 29.

根据勾股定理可得a b c，把c 60 a b代入，化简得ab 60(a b) 1800 0，所以

2

2

2

(60 a)(60 b) 1800 23 32 52，

2

60 a 23 5, 60 a 2 5,

因为a,b均为整数且a b，所以只可能是 或

222

60 b 3 5, 60 b 2 3,

解得

a 20, a 10,

或 15, 24.bb

625

； 4

当a 20,b 15时，c 25，三角形的外接圆的面积为

当a 10,b 24时，c 26，三角形的外接圆的面积为169 .

二．（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明：∠BAE＝∠ACB.

证明：连接OA，OB，OC，BD.

∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得

PA2 PD PO，AD2 PD OD.

又由切割线定理可得PA PB PC，

∴PB PC PD PO，∴D、B、C、O四点共圆， ∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，

∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD， ∴

2

PDBD

，

CDOD

∴BD CD PD OD AD，∴

2

BDAD

.

ADCD

又∠BDA＝∠BDP＋90°＝∠ODC＋90°＝∠ADC，∴△BDA∽△ADC， ∴∠BAD＝∠ACD，∴AB是△ADC的外接圆的切线，∴∠BAE＝∠ACB. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.

第二试 （C）

一．（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.

12

x bx c的顶点为P，与x轴的正半轴交于A(x1,0)、6

B(x2,0)（x1 x2）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.

将抛物线向左平移1)

三．（本题满分25分）已知抛物线y

个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q，且∠QBO＝∠OBC.求抛物线的解析式.

13b232解 抛物线的方程即y (x 3b) c，所以点P(3b,b2 c)，点C(0,c).

622

设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为(3b,m). 显然，x1,x2是一元二次方程

12

x bx c 0的两根，所

以x1 3b

，6

2

x2 3b，又AB的中点E的坐标为(3b,0)，所以AE

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