1.2 高斯消元法与矩阵的初等变换

高斯消元法与矩阵的初等变换

引子方程组 AX = b a11 a21 其 A= 中 M am1 a12 a22 M am2 L a1n x1 L a2n x2 , X = M , M x L amn n b 1 b2 b = M b m

a11x1 + a12 x2 +L+ a1n xn = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 就 是 L L L L L L am1 x1 + am2 x2 +L+ amn xn = bm

高斯消元法与矩阵的初等变换

齐次方程组： 齐次方程组：AX = 0; 非齐次方程组： 非齐次方程组：AX = b, b ≠ 0 (b中至少有一分量不为零 中至少有一分量不为零) 中至少有一分量不为零

问题

方程组何时有解？ 方程组何时有解 若有解，有多少解？如何求出其全部解？ 若有解，有多少解？如何求出其全部解

高斯消元法与矩阵的初等变换

1.2

高斯消元法与 矩阵的初等变换

1.2.1. 高斯消元法 1.2.2. 矩阵的初等变换 1.2.3. 初等矩阵

高斯消元法与矩阵的初等变换

1.2.1 高斯消元法分析用消元法解下列方程组的过程. 分析用消元法解下列方程组的过程. 消元法解下列方程组的过程 引例 求解线性方程组

2 x1 x2 x3 + x4 = 2, x + x 2 x + x = 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x2 + 2 x3 2 x4 = 4, 3 x1 + 6 x2 9 x3 + 7 x4 = 9,

1 23

1 2

(1)

高斯消元法与矩阵的初等变换

解1

(1)

1 2

2

3

x1 + x2 2 x3 + x4 = 4, 2 x x x + x = 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 + x3 x4 = 2, 3 x1 + 6 x2 9 x3 + 7 x4 = 9, x1 + x2 2 x3 + x4 = 4, 2 x 2 x + 2 x = 0, 2 3 4 5 x2 + 5 x3 3 x4 = 6, 3 x 2 3 x 3 + 4 x 4 = 3,

1 23

4 1 23

3 + 2 2 1 +3 31 + 4

4

高斯消元法与矩阵的初等变换

x1 + x2 2 x3 + x4 = 4, 2 x 2 x + 2 x = 0, 2 3 4 5 x2 + 5 x3 3 x4 = 6, 3 x2 3x3 + 4 x4 = 3, 1 2× 2

1 23

4

x1 + x2 2 x3 + x4 = 4, x x + x = 0, 2 3 4 5 x2 + 5 x3 3 x4 = 6, 3 x2 3 x3 + 4 x4 = 3,

1 23

4

高斯消元法与矩阵的初等变换

x1 + x2 2 x3 + x4 = 4, x x + x = 0, 2 3 4 5 x2 + 5 x3 3 x4 = 6, 3 x2 3 x3 + 4 x4 = 3, x1 + x2 2 x3 + x4 = 4, x x + x = 0, 2 3 4 2 x 4 = 6, x 4 = 3,

1 23

4

1 23

5 2+ 3

32 + 4

4

高斯消元法与矩阵的初等变换

3

4

x1 + x2 2 x3 + x4 = 4, x x + x = 0, 2 3 4 2 x4 = 6, x4 = 3, x1 + x2 2 x3 + x4 = 4, x x + x = 0, 2 3 4 x 4 = 3, 0 = 0,

1 23

4 1 23

1 2

3+ 4

4

用“回代”的方法求出解： 回代”的方法求出解：

高斯消元法与矩阵的初等变换

x1 = x3 + 4 于是解得 x2 = x3 + 3 x = 3 4

其中x 其中 3为任意取值 .x3 称为自 由未知量

或令 x 3 = c , 方程组的解可记作 x1 = c + 4 x = c + 3 2 x3 = c x4 = 3

其中 c为任意常数 .

高斯消元法与矩阵的初等变换

小结： 小结： 1.上述解方程组的方法称为消元法 .上述解方程组的方法称为消元法. 消元法 2.始终把方程组看

作一个整体变形，用到如 .始终把方程组看作一个整体变形， 下三种变换 替换) (1)交换方程次序；( i 与 j 替换) )交换方程次序； (2)以不等于0的数乘某个方程； )以不等于0的数乘某个方程； (以 i × k 替换 i ) 倍加到另一个方程. (3)一个方程的 倍加到另一个方程. )一个方程的k倍加到另一个方程 (以 k j + i 替换i

)

称以上三种变换为线性方程组的初等变换. 称以上三种变换为线性方程组的初等变换 线性方程组

高斯消元法与矩阵的初等变换

1.2.2 矩阵的初等变换方程组与其增广矩阵一 一对应. 方程组与其增广矩阵一 一对应 若用矩阵来讨论线性方程组，则上述变形实际 若用矩阵来讨论线性方程组，则上述变形实际 是对方程组对应的矩阵进行变形，这种变形就是 是对方程组对应的矩阵进行变形， 矩阵的初等变换. 矩阵的初等变换. 初等变换

高斯消元法与矩阵的初等变换

定义

下面三种变换称为矩阵的初等行变换 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 初等

(1) 对调两行 (对调 i , j 两行 , 记作 ri r j) ;(2 ) 以数 k ≠ 0 乘以某一行的所有元素 ;

(3 ) 把某一行所有元素的. 记作 kr j + ri)

(第 i 行乘 k , 记作 ri × k)

k 倍加到另一行

对应的元素上去( 对应的元素上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上

可定义矩阵的初等 变换(所用记号是把 初等列 同理 可定义矩阵的初等列变换 所用记号是把 换成“ . “r”换成“c”). 换成

高斯消元法与矩阵的初等变换

初等行 初等行变换 矩阵的初等变换 矩阵的初等变换 初等列 初等列变换 通常称 (1) 对换变换 对换变换; (2) 倍乘变换; 倍乘变换 (3) 倍加变换

高斯消元法与矩阵的初等变换

用矩阵的初等行变换 解方程组( ): 用矩阵的初等行变换 解方程组(1):1 2 1 1 1 2 1 ~ 1 A= 4 6 2 2 3 6 9 7 r3 + r2

2 4 r1 r2 4 r3 1 2 9

1 2 1 1 2 1 1 1 2 3 1 1 3 6 9 7

4 2 2 9

1 2 1 4 1 r 1 2r1 + r3 0 2 2 2 0 2 2 0 5 5 3 6 5r2 + r3 3r1 + r4 0 3 3 4 3 3r2 + r4

1 0 0 0

1 2 1 4 1 1 1 0 0 0 2 6 0 0 1 3

高斯消元法与矩阵的初等变换

1 0 0 0

1 2 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0

4 1 0 2 6 1 3 10 1 1 1 0 0 0 0

1 r3 r4 0 2r3 + r4 0 0 0

1 2 1 1 0 0 0 0

4 0 1 3 0 0 1 1

r2 + r1

r3 + r2

x1 x 3 = 4 4 对应的 0 3 x2 x3 = 3 1 3 方程组为 x = 3 4 0 0 0=0

x1 = x3 + 4 方程组 x2 = x3 + 3 的解为： 的解为： x = 3 4

其中 x 3为任意常数

.

高斯消元法与矩阵的初等变换

行阶梯形矩阵 1 0 0 0 1 2 0 0 2 1 0 0 1 1 5 0 4 0 3 0

特点 下方全为零； 下方全为零；

(1) 可划出一条阶梯线，线的 可划出一条阶梯线 阶梯线， (2) 每个台阶只有一行，台阶 每个台阶只有一行，

数即是非零行的行数， 数即是非零行的行数，阶梯线 竖线后面的第一个元素为非零 行的第一个非零元. 行的第一个非零元.