线性代数公式大全&四套模拟试卷(含部分答案)

线性代数

1

线性代数公式大全

1、行列式

1. n 行列式共有2

n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n

行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij

a 的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j

i j

ij

ij

ij

ij

M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：

将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1

D ，则(1)2

1

(1)

n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90

，所得行列式为2D ，则(1)2

2

(1)

n n D

D -=-；

将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3

D

D =；

将D 主副角线翻转后，所得行列式为4

D ，则4

D

D =；

5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2

(1)

n n -? -；

③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2

(1)n n -? -；

⑤、拉普拉斯展开式：A O A C

A B C B O B

==、(1)m n C

A O A A

B B

O B C

==-

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)

n

n

k

n k

k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k

S 为k 阶主子式；

7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法；

③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；

线性代数

2 2、矩阵

1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）；

?()r A n =（是满秩矩阵）

?A 的行（列）向量组线性无关；

?齐次方程组0Ax =有非零解；

?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；

?A 与E 等价；

?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；

?A 的特征值全不为0；

?T A A 是正定矩阵；

?A 的行（列）向量组是n R 的一组基；

?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；

2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；

3. 1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----===

***111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---===

4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：

若1

2

s A A A A ??

?

?

= ? ?

??

，则： Ⅰ、12s A A A A = ；

Ⅱ、1

1112

1s A A A A ----??

?

?

= ? ?

???

；

②、1

1

1A O A O O B O B ---??

??= ? ?????

；（主对角分块） ③、1

11O A O B B O A O ---??

??= ? ?????

；（副对角分块） ④、1

1

111A C A A CB O B O B -----??

-??= ? ?????

；（拉普拉斯） ⑤、1

1111A O A O C B B CA B -----??

??= ? ?-????

；（拉普拉斯）

线性代数

3 3、矩阵的初等变换与线性方程组

1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：

r

m n

E O

F O O ???= ???； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ；

2. 行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） ①、 若(,)(,)r A E E X ，则A 可逆，且1X A -=；

②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)c

A B E A B - ~ ； ③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)r

A b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

②、12

n ?? ? ?Λ= ? ??? λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，i λ乘A 的各列元素；

③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1

111111-???? ? ?= ? ? ? ?????；

④、倍乘某行或某列，符号

(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k -???? ? ? ?=≠ ? ? ? ?????

； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：

线性代数

4

1

11

11(0)11k k k --???? ? ?

=≠ ? ? ? ?????

； 5. 矩阵秩的基本性质： ①、0()min(,)m n

r A m n ?≤≤；

②、()()T

r A

r A =；

③、若A B ，则()()r A r B =；

④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）

⑧、如果A 是m n ?矩阵，B 是n s ?矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）； Ⅱ、()()r A r B n +≤

⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；

6. 三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

②、型如101001a c b ??

?

? ?

??

的矩阵：利用二项展开式； 二项展开式：0

111

1110

()

n

n

n

n m n m

m

n n n n

m m n m

n

n

n

n

n

n m a b C a C a b C a

b C

a b

C b C a b -----=+=++++++=∑ ； 注：Ⅰ、()n

a b +展开后有1n +项； Ⅱ、0(1)(1)!

1123!()!

--+=

=

==- m n n

n n n n n m n C

C C m m n m

Ⅲ、组合的性质：11

1

1

2---+-===+==∑n

m

n m

m m m r n

r r n

n

n n n

n

n n r C

C

C

C C

C

rC nC ； ③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：

①、伴随矩阵的秩：*()()1

()10()1

n

r A n r A r A n r A n =

??==-??<-?

； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)A

A

AX X A A A A X X λλ

λ

- == ? =

；

③、*

1A

A A -=、1

*n A A

-=

线性代数

5 8. 关于A 矩阵秩的描述：

①、()r A n =，A …… 此处隐藏：12604字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……