小学奥数之第12讲 几何综合(一)

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第12讲 几何综合（一）

几何图形的设计与构造．涉及比例与整数分解，需要添加辅助线、寻找规律或利用对称性解的较为复杂的直线形和圆的周长与面积计算问题．

1．今有9盆花要在平地上摆成9行，其中每盆花都有3行通过，而且每行都通过3盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行.

【分析与解】 如下图所示，我们给出四种不同的排法．

2．已知如图12-1，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5厘米．求这个六边形的周长．

【分析与解】 如下图所示，将六边形的六条边分别延长，相交至三点，并将其标上字母， 因为∠BAF=120°，而么∠IAF=180°-∠BAF=60°． 又∠EFA=120°，而∠IFA=180°-∠EFA：60°，则 △IAF为等边三角形．

同理△BCG、△EHD、△IGH均为等边三角形． 在△IAF中，有IA=IF=AF=9(厘米)， 在△BGC中，有BG=GC=BC=1(厘米)，

有IA+AB+BG=IG=9+9+1=19，即为大正三角形的边长，所以有IG=IH=GH=19(厘米)．

则EH=IH-IF-FE=19-9-5=5(厘米)，在△EDH中，DH=EH=5(厘米)，所以CD=GH-GC-DH=19-1-5=13(

厘

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米)．

于是，原图中六边形的周长为1+9+9+5+5+13=42(厘米)．

3．图12-2中共有16条线段，每两条相邻的线段都是互相垂直的．为了计算出这个图形的周长，最少要量出多少条线段的长度

?

【分析与解】 如下图所示，我们想像某只昆虫绕图形爬行一周，回到原出发点，那么往右的路程等于往左的路程，往上的路程等于往下的路程．于是只用量出往右的路程，往下的路程，再将它们的和乘以2即为所求的周长．所以，最少的量出下列6段即可．

4．将图12-3中的三角形纸片沿虚线折叠得到图12-4，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为

2：3．已知图12-4中3个画阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少

?

【分析与解】设重叠部分的面积为x，则原三角形面积为1+2x，粗实线的面棚为1+x.因此 (1+2x)：(1+x)=3：2，解得x=1，即重叠部分面积为1．

5．如图12-5，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米．问：大正六角星形的面积是多少平方厘米

?

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【分析与解】 如下图所示，在正六边形ABCDEF中,角星形，那么由6个

及12个

与面积相等，12个组成小正六

组成的正六边形的面积为16÷12×(12+6)=24(平方厘米)．

而通过下图，我们知道，正六边形ABCDEF可以分成6个小正三角形，并且它们面积相等，且与六个角

的面积相等，所以大正六角星形的

积为24÷6×12=48(平方厘米)．

6．如图12-6所示，在三角形ABC中，DC=3BD，DE=EA．若三角形ABC的面积是1．则阴影部分的面积是多少

?

【分析与解】 △ABC、△ADC同高，所以底的比等于面积比，那么有

DC33

S ABC S ABC . BC44

13

而E为AD中点，所以S DEC S ADC .

28S ADC

连接FD，△DFE、△FAE面积相等，设S FEA x,则．S FDE的面积也为x，S ABD

11

S ABC

. 44

S BDF S ABD S FEA S FDE

13

2x,而S FDC S FDE S DEC x . 48

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133

S BDF:S FDC ( 2x);(x ) 1:3，解得x .

4856

333

.

所以，阴影部分面积为S DEC S FEA

8567

7．如图12-7，P是三角形ABC内一点，DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，四边形AIPD的面积是12，四边形PGCH的面积是15，四边形BEPF的面积是20．那么三角形ABC的面积是多少

?

【分析与解】 有平行四边形AIPD与平行四边形PGCH的面积比为IP与PH的比，即为12：15=4：5． 同理有FP:PG=20:15=4:3， DP:PE=12:20=3:5．

如图12-7(a)，连接PC、HD，有△PHC的面积为即S DPH

15

△DPH与△PHC同底PH，同高，所以面积相等，2

15

，而△DPH与△EPH的高相等，所以底的比即为面积的比，有2

551525

S DPH:S EPH DP:PE 3:5，所以S EPH S DPH .

3322IPIP4S EPH S FBP 10 8; 如图12-7(b)所示，连接FH、BP，S IFP PHPH5PGPG39

S DFP S APD 6

.

如图12-7(c)所示，连接FD、AP，S DPG FPFP42

有S ABC S AIPD S BEPF S CGPH S IFP S DGP S EHP 12 20 15 8

925

72. 22

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8．如图12-8，长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形，①号正方形的边长是长方形长的

51

，②号正方形的边长是长方形宽的．那么，图中阴影部分的面积是多少

? 128

57

，则图中未标号的正方形的边长为长方形长的. 1212

17

而②号正方形的边长为宽的，所以未标号的正方形的边长为长方形宽的.

8877

所以在长方形中有：长=宽，则长：宽=12：8，不妨设长的为12k，宽为8k，则①号正方形

128

【分析与解】 有①号正方形的边长为长方形长的

的边长为5k，又是整数，所以k为整数，有长方形的面积为96k,不大于100．所以k只能为1，即长方形的长为12，宽为8．

于是，图中①号正方形的边长为5，②号正方形的边长为1，则未标号的正方形的边长为7，所以剩余的阴影部分的面积为： 12 8 5 1 7 21.

2

2

2

2

9．如图12-9，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形重叠部分，C，D，E是空出的部分，这些部分都是长方形，它们的面积比是A：B：C：D：E=1：2：3：4：5．那么这个长方形的长与宽之比是多少

?

【分析与解】 以下用E横表示E部分横向的长度，E坚竖表示E部分竖向的长度，其他下标意义类似．

有E横：D横=5：4，A横：B横=l：2．

而E横+A横=D横+B横，所以有E横：D横：A横：B横=5：4：1：2．

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而A横+B横+C横=E横+A横对应为5+1=6，那么C横对应为3． 而A面积：B面积：C面积=1：2：3，所以A坚=B坚=C坚． 有A坚+C坚竖对应为6，所以A坚=C坚对应为3． 那么长方形的竖边为6+C坚对应为9，长方形横边为

E横+6+D横对应为5+6+4=15．

所以长方形的长与宽的比为15：9=5：3．

10．如图12-10，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是 14，绿色的面积是lO．那么，正方形盒子的底面积是多少

?

【分析与解】 如下图所示，我们将黄色的正方形纸片向左推向纸盒的过缘，有露在外面的部分，黄色减少的面积等于绿色增加的面积，也就是说黄色、绿色部分露在外面部分的面积和不变．

并且有变化后，黄色露出面积+红色部分面积，绿色露出面积+红色部分面积，都是小正方形纸片 …… 此处隐藏：3448字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……