2009年中考数学压轴题汇编(7)

2009年中考数学压轴题汇编

2009年中考数学压轴题汇编（七）

（2009年湖北省孝感市）25．（本题满分12分） 如图，点P是双曲线y

k1(k1 0，x 0)上一动点，过点

P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、

x

B两点，交双曲线y=

k2 （0＜k2＜|k1|）于E、F两点．

x

（1）图1中，四边形PEOF的面积S1= (用含k1、k2的式子表示)；（3分） （2）图2中，设P点坐标为（－4，3）．

①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；（4分）

②记S2 S PEF S OEF，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．（

25．解：（1）k2 k1； … ………………………………3分

（2）①EF∥AB． ……………………………………4分 证明：如图，由题意可得A（–4，0），B（0，3），E( 4, k24

)，F(

k23

,3) ．

∴PA=3，PE=3

k24

，PB=4，PF=4

k23

．

∴

PA

3

12，

PB

4

12

PE

3

k212 k2

PF

4

k

212 k2

4

3

∴

PAPE

PBPF

． ………………………… 6分

又∵∠APB=∠EPF．

5分）

2009年中考数学压轴题汇编

∴△APB ∽△EPF，∴∠PAB=∠PEF．

∴EF∥AB． …………………………… 7分 ②S2没有最小值，理由如下：

过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q． 由上知M（0，

k24

），N（

k23

，0），Q（

k23

，

k24

）． ……………… 8分

而S△EFQ= S△PEF，

∴S2＝S△PEF－S△OEF＝S△EFQ－S△OEF＝S△EOM＋S△FON＋S矩形OMQN

＝k2

21

12k2

k23 k24

＝k2 =

112

112

k2

2

2

(k2 6) 3． ………………………… 10分

当k2 6时，S2的值随k2的增大而增大，而0＜k2＜12． …………… 11分 ∴0＜S2＜24，s2没有最小值． …………………………… 12分

说明：1．证明AB∥EF时，还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过A、B两点和经过E、F两点的

直线解析式，利用这两个解析式中x的系数相等来证明AB∥EF；方法二：利用tan PAB＝tan PEF来证明AB∥EF；方法三：连接AF、BE，利用S△AEF＝S△BFE得到点A、点B到直线EF的距离相等，再由

A、B两点在直线EF同侧可得到AB∥EF．

2．求S2的值时，还可进行如下变形：

S2＝ S△PEF－S△OEF＝S△PEF－（S四边形PEOF－S△PEF）＝2 S△PEF－S四边形PEOF，再利用第（1）题中的结论．

（2009年湖北省荆门市）25．(本题满分12分)一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC． (1)若m为常数，求抛物线的解析式；

(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？

(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

2009年中考数学压轴题汇编

北京中考网—北达教育旗下 http://www.77cn.com.cn 电话 010-********

北京中考网—北达教育旗下门户网站 http://www.77cn.com.cn 电话 010-******** 3

25．解：(1)设抛物线的解析式为：y ＝a (x －m ＋2)(x －m －2)＝a (x －m )2－4a ．………2分

∵AC ⊥BC ，由抛物线的对称性可知：△ACB 是等腰直角三角形，又AB ＝4，

∴C (m ，－2)代入得a ＝12．∴解析式为：y ＝12

(x －m )2－2．…………………………5分 (亦可求C 点，设顶点式)

(2)∵m 为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m 个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y ＝12

(x －m )2－2顶点在坐标原点．………………………………………7分

(3)由(1)得D (0，12m 2－2)，设存在实数m ，使得△BOD 为等腰三角形． ∵△BOD 为直角三角形，∴只能OD ＝OB ．……………………………………………9分

∴12

m 2－2＝|m ＋2|，当m ＋2＞0时，解得m ＝4或m ＝－2(舍)． 当m ＋2＜0时，解得m ＝0(舍)或m ＝－2(舍)；

当m ＋2＝0时，即m ＝－2时，B 、O 、D 三点重合(不合题意，舍)

综上所述：存在实数m ＝4，使得△BOD 为等腰三角形．……………………………12分

（2009年襄樊市）26．（本小题满分13分）

如图13，在梯形A B C D 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是A D 的中点，M B C △是等边三角形．

（1）求证：梯形A B C D 是等腰梯形；

（2）动点P 、Q 分别在线段B C 和M C 上运动，且60MPQ =?∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y 与x

的函数关系式；

（3）在（2）中：①当动点P 、Q 运动到何处时，以点P 、M 和点A 、B 、C 、D 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；

②当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．

第25题图 B D

A

C O x

y

2009年中考数学压轴题汇编

A

D

60B

Q

P C

图13

26．（1）证明：∵△MBC是等边三角形

A

D

∴MB MC，∠MBC ∠MCB 60 ···1分 ∵M是AD中点 ∴AM MD 60∵AD∥BC

B

Q

P

C

∴∠AMB ∠MBC 60 ，

∠DMC ∠MCB 60

∴△AMB≌△DMC······· 2分 ∴AB DC

∴梯形ABCD是等腰梯形． ·················· 3分

（2）解：在等边△MBC中，MB MC BC 4，∠MBC ∠MCB 60 ，

∠MPQ 60

∴∠BMP ∠BPM ∠BPM ∠QPC 120

∴∠BMP ∠QPC ························ 4分 ∴△BMP∽△CQP ∴

PCQBM

CBP

················· 5分

∵PC x，MQ y ∴BP 4 x，QC 4 y············ 6分 ∴

x2

4 4 y4 x

∴y

14

x x 4 ·················· 7分

（3）解：①当BP 1时，则有BP

∥AM，BP ∥MD 则四边形ABPM和四边形MBPD均为平行四边形

2009年中考数学压轴题汇编

∴MQ y

14

3 3 4

2

134

················ 8分

∥AM，PC ∥D 当BP 3时，则有PC

则四边形MPCD和四边形APCM均为平行四边形 ∴MQ y