12.6 离散型随机变量的均值与方差

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§12.6 离散型随机变量的均值与方差 基础知识 自主学习要点梳理1.离散型随机变量的均值与方差 1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 若离散型随机变量X的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

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(1)均值 (1)均值 +…+x +…+x x1p1+x2p2+…+xi pi+…+xn pn 为随机变量 称E(X)=_______________________为随机变量X的均 )=_______________________为随机变量X 值或_________,它反映了离散型随机变量取值的____ 值或_________,它反映了离散型随机变量取值的____ _________,它反映了离散型随机变量取值的 平均 数学期望 ______. 水平 (2)方差 (2)方差 称D(X)= ∑ ( xi E ( X )) 2 pi 为随机变量X的方差,它刻画 为随机变量X的方差, 了随机变量X与其均值E 了随机变量X与其均值E(X)的_____________,其____ _____________,其 算术 平均偏离程度i =1 n

平方根 D(X ) 为随机变量 _____________为随机变量X的标准差. _____________为随机变量X的标准差.

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2.均值与方差的性质 2.均值与方差的性质 (1)E aX+ (1)E(aX+b)=__________. aE( )+b aE(X)+b (2)D aX+ )=________.(a 为常数) (2)D(aX+b)=________.(a,b为常数) a 2 D( X ) 3.两点分布与二项分布的均值, 3.两点分布与二项分布的均值,方差 两点分布与二项分布的均值 (1p(1-p) (1)若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=_______. (1)若 服从两点分布, )=p np(1 (1np(1-p) np (2)若X~B( (2)若X~B(n,p),则E(X)=____,D(X)=_________. ),则 )=____,D

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基础自测1.已知 1.已知 ξ 的分布列

ξP

-1 1 2

0 1 3

1 1 6

1 23 则在下列式子中: 则在下列式子中: E (ξ ) = ; ②D (ξ ) = ① ; 3 27 1 ③P(ξ = 0) = . 3 正确的个数是 (A.0 B.1 C.2 D.3

)

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解析

1 1 1 E (ξ ) = (1) × + 1× = , 故①正确. 2 6 3 1 2 1 1 2 1 1 2 1 D(ξ ) = (1 + ) × + (0 + ) × + (1 + ) × 3 2 3 3 3 6 5 = , 故②不正确. 9 由分布列知③正确.C

答案

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2.若随机变量X的分布列如表, E(X)等于 2.若随机变量X的分布列如表,则E(X)等于 若随机变量 X P 0 2x 1 3x 2 7x 3 2x 4 3x D. 9 20 5 x

(C )

1 A. B. 1 C. 20 18 9 9 由分布列的性质, 解析 由分布列的性质,

可得2 +3x+7x+2x+3x 可得2x+3x+7x+2x+3x+x=1, ∴ x = 1 . 18 )=0× +1× +2× +3× +4× +5x ∴E(X)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5x 20 =40x =40x= . 9

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3.设随机变量 3.设随机变量 ξ ~ B(n, p ), 且E (ξ ) = 1.6, D(ξ ) = 1.28, 则 (A ) A.n=8,p A.n=8,p=0.2 C.n=5,p C.n=5,p=0.32 解析 B.n=4,p B.n=4,p=0.4 D.n=7,p D.n=7,p=0.45

∵ ξ ~ B(n, p),∴ E (ξ ) = np = 1.6,

n = 8, D(ξ ) = np(1 p) = 1.28,∴ p = 0.2.

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4.已知某一随机变量 的概率分布列如下, 4.已知某一随机变量 ξ 的概率分布列如下,且 E (ξ ) = =6.3,则a的值为 =6.3,则 ( C 4 0.5 B.6 a 0.1 C.7 9 b D.8 )

ξP A.5 解析

由分布列性质知:0.5+0.1+b=1,∴b 由分布列性质知:0.5+0.1+b=1,∴b=0.4.

=4×0.5+a 0.1+9×0.4=6.3.∴a ∴ E (ξ ) =4×0.5+a×0.1+9×0.4=6.3.∴a=7.

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9 161 1 3

9 ∵ X ~ B (3, ),∴ D( X ) = 3 × × = . 4 4 4 16

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题型分类 深度剖析题型一 离散型随机变量的均值与方差的求法 (2009湖南理,17)为拉动经济增长 湖南理,17)为拉动经济增长, 【例1】 (2009湖南理,17)为拉动经济增长,某市决 定新建一批重点工程,分为基础设施工程, 定新建一批重点工程,分为基础设施工程,民生工程 和产业建设工程三类, 和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分 1 1 1 现有3 别占总数的 , , , 现有3名工人独立地从中任选一 2 3 6 个项目参与建设. 个项目参与建设. (1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率; (1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率; 求他们选择的项目所属类别互不相同的概率 (2)记 (2)记 ξ 为3人中选择的项目属于基础设施工程或产 业建设工程的人数, 的分布列及数学期望. 业建设工程的人数,求 ξ 的分布列及数学期望.

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(1)由相互独立事件的概率公式和互斥事 思维启迪 (1)由相互独立事件的概率公式和互斥事 件的概率公式求解. 件的概率公式求解. (2)确定随机变量的所有可能值. (2)确定随机变量的所有可能值.用η表示选择项目属 确定随机变量的所有可能值 民生工程的人数, 可取值: =3民生工程的人数,则η可取值:0,1,2,3,ξ=3-η可取 值为: 值为:3,2,1,0. 解 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程, 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程,民 生工程和产业建设工程分别为事件A 生工程和产业建设工程分别为事件Ai,Bi,Ci,i=1,2, 3.由题意知A 相互独立, 相互独立, 3.由题意知A1,A2,A3相互独立,B1,B2,B3相互独立, 由题意知 相互独立, =1,2,3且 C1,C2,C3相互独立,Ai ,Bj ,Ck(i,j,k=1,2,3且i ,j,k1 1 1 互不相同)相互独立, 互不相同)相互独立,且 P ( A1 ) = , P ( B2 ) = , P (C 3 ) = . 2 3 6

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(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=3!P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3) =3! )=6P( 6P 1 1 1 1 = 6× × × = . 2 3 6 6 (2)设 (2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为

η,由已知, η ~ B(3, ), 且ξ = 3 η , 由已知,

1 3 1 3 1 3 , 所以 P (ξ = 0) = P (η = 3) = C3 ( ) = 3 27

1 2 2 2 P (ξ = 1) = P (η = 2) = C ( ) ( ) = , 3 3 9 1 2 4 P (ξ = 2) = P (η = 1) = C1 ( )( ) 2 = , 3 3 3 9 8 0 2 3 P (ξ = 3) = P (η = 0) = C3 ( ) = . 3 272 3

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故ξ的分布列是 1 2 3 2 4 8 P 9 27 9 1 2 4 8 ξ的数学期望E (ξ ) = 0 × + 1× + 2 × + 3 × = 2. 27 9 9 27 (1)求离散型随机变量的均值与方差关键 探究提高 (1)求离散型随机变量的均值与方差关键 是确定随机变量的所有可能值, 是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布 列,正确运用均值,方差公式进行计算. 正确运用均值,方差公式进行计算. (2)要注意观察随机变量的概率分布特征,若

属二项 (2)要注意观察随机变量的概率分布特征, 要注意观察随机变量的概率分布特征 分布的,可用二项分布的均值与方差公式计算, 分布的,可用二项分布的均值与方差公式计算,则更为 简单. 简单.

ξ

0 1 27

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知能迁移1 某中学组建了A 知能迁移1 某中学组建了A,B,C,D,E五个不同 的社团组织,为培养学生的兴趣爱好,要求每个学生 的社团组织,为培养学生的兴趣爱好, 必须参加,且只能参加一个社团.假定某班级的甲, 必须参加,且只能参加一个社团.假定某班级的甲, 乙,丙三名学生对这五个社团的选择是等可能 …… 此处隐藏：3135字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……