圆的切线的性质及判定

圆的切线的性质及判定 圆的切线的性质及 性质lO

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学习目标： 学习目标： 直线与圆位置的分类及满足条件； 一、直线与圆位置的分类及满足条件； 性质和判定及应用。 二、性质和判定及应用。

如图， 是 的直径,⊙ 过 的中点 的中点D, 例1 如图，AB是⊙O的直径 ⊙O过BC的中点 ， 的直径 DE⊥AC. 求证：DE是⊙O的切线. 求证： 是 的切线. ⊥ 的切线 如图， 是 的直径, 上一点， 例2 如图，AB是⊙O的直径 C为⊙O上一点， 的直径 为 上一点 AD和过点 的切线互相垂直，垂足为 和过点C的切线互相垂直 求证： 和过点 的切线互相垂直，垂足为D. 求证：AC 平分∠ 平分∠DAB. .C E D B A O A O B D C

我们知道,直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系， 我们知道 直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系， 直线与圆有相交 这是从直线与圆的公共点个数刻画的. 这是从直线与圆的公共点个数刻画的 (1)直线与圆有两个公共点，称直线与圆相交 )直线与圆有两个公共点，称直线与圆相交;(d<r) (2)直线与圆只有一个公共点，称直线与圆相切 )直线与圆只有一个公共点，称直线与圆相切;(d=r) (3)直线与圆没有公共点，称直线与圆相离 )直线与圆没有公共点，称直线与圆相离.(d>r)

本节专门讨论直线与圆相切的情形.相 交 相 相 切 离

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1 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直， 因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直， 经过一点只有一条直线与已知直线垂直 所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点 经过圆心垂直于切线的直线一定过切点； 所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点； 反之,过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心 过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心. 反之 过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心 由此得到： 由此得到：

切线的性质定 理的推论1 经 理的推论1:经 过圆心且垂直 于切线的直线 必经过切点. 必经过切点.

O.

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切线的性质定 理的推论2 经 理的推论2:经 过切点且垂直 于切线的直线 必经过圆心. 必经过圆心.

2. 如图,点 是 如图 点A是⊙O与直线 l 的公共点 且 l⊥OA .在直线 l 与直线 的公共点,且 在直线 上任取异于点A的点 的点B,则 上任取异于点 的点 则△OAB是 Rt△. 是 △ 的斜边， 而OB是Rt△ OAB的斜边，因此，都有 是 △ 的斜边 因此，都有OB>OA,即B 即 一定点在圆外.由点B的任意性可知， 的任意性可知 一定点在圆外.由点 的任意性可知，圆与直线只有 一个公共点， 是圆

的切线.由此可得： 一个公共点，因此 l 是圆的切线.由此可得： 切线的判定定理：经过半 切线的判定定理： 径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线. 半径的直线是圆的切线.根据作图,直线 是 切线满足两个条件： 根据作图 直线l是⊙O切线满足两个条件： 直线 切线满足两个条件 O

lA B

1.经过半径的外端； 2.与半径垂直.OA是⊙ 应用格式(几何语言): OA ⊙O的半径 OA⊥l于A OA⊥l

l是⊙O的切线. ⊙

定理说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端” 定理说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端” 垂直于这条半径” 结论为“ 和“垂直于这条半径”,结论为“直线是圆的切 线”, 两个条件缺一不可 否则就不是圆的切线. 缺一不可， 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线 下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线： 下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：

O. O. A A

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B

3.应用： 应用： 如图， 是 的直径,⊙ 过 的中点 的中点D, 例1 如图，AB是⊙O的直径 ⊙O过BC的中点 ， 的直径 DE⊥AC. 求证：DE是⊙O的切线. 求证： 是 的切线. ⊥ 的切线C 证明：连接 证明：连接OD. . ∵BD=CD,OA=OB, = , 的中位线. ∴OD是△ABC的中位线 是 的中位线 ∴OD//AC. 又∵ ∠DEC=90°, = ° ∴ ∠ODE=90°. = ° 在圆周上, 又∵ D在圆周上 在圆周上 的切线. ∴ DE是⊙O的切线 是 的切线 E D B A O

如图， 是 的直径, 上一点， 例2 如图，AB是⊙O的直径 C为⊙O上一点， 的直径 为 上一点 AD和过点 的切线互相垂直，垂足为 和过点C的切线互相垂直 求证： 和过点 的切线互相垂直，垂足为D. 求证： AC平分∠DAB. 平分∠ 平分 .证明：连接 证明：连接OC. . 的切线， ∵CD 是⊙O的切线， 的切线 ∴OC⊥CD. ⊥ 又∵AD⊥CD , ∴OC//AD. ⊥ ∴∠ACO= ∠CAD . = 又∵OC=OD, ∴∠CAO= ∠ACO ∴∠ = ∴∠CAD= ∠CAO , = ∴∠ 平分∠ 故AC平分∠DAB. 平分 . A D C

O

B

思考：定点 在圆的什么位置 在圆的什么位置？ 思考：定点C在圆的什么位置？

例3

作经过一定点C的圆的切线. 作经过一定点 的圆的切线. AP

C O B (1)点C在圆上. 作法：连接OC,过 点C作AB⊥OC.则 直线AB就是所要作 的切线. 证明：直线AB经过点 C,并且AB⊥OC.由 切线的判定定理可知， AB就是⊙O的切线， 切点是点C.P′ O. O1 C

作法：连接 作法：连接OC, 以OC为直径的 为直径的 圆为⊙ 圆为⊙O1,与 ⊙O 相交于两点 P和P′.连接 和 连接CP和 和 连接 CP′,则CP和CP′ 则 和 都是过已知点C 都是过已知点 所引⊙ 的切 所引⊙O的切 线.

(2)点C在圆外. 证明：∵∠ 证明：∵∠OPC

是⊙O1内半圆 是 上的圆周角， 上的圆周角， ∴∠OPC=90°. ∴PC⊥OP. ° ∴∠ ⊥ 又∵OP是⊙O的半径，PC经过 是 的半径， 经过 的半径 就是所要作的切线. 点C,∴PC就是所要作的切线 ， 就是所要作的切线 同理， 也是所要作的切线. 同理，CP′也是所要作的切线 也是所要作的切线

课堂小结： 课堂小结：一 判定一条直线是圆的切线有三 判定一条直线是圆的切线有三种方法

1 根据定义直线与圆有唯一的公共点 2 根据判定定理 3,根据圆心到直线的距离等于半径 二 添辅助线的方法 1,已知直线与圆有交点，则连接圆心与交点 2,没有明确的公共点， 则过圆心作直线的垂线段

练习1.如图 是⊙O外的一点，AO的延长线交 练习 如图A是 外的一点， 的延长线交 如图 外的一点 经过⊙ 上一点 上一点B, ⊙O于C,直线 经过⊙O上一点 ，且AB=BC, 于 ，直线AB经过 = , 的切线. ∠C=30°. 求证：直线 是⊙O的切线 = ° 求证：直线AB是 的切线证明：连结OB, 证明：连结OB, ∵OB=OC,AB=BC,∠C=30° ∠ ° ∴∠OBC=∠C=∠A=30° ∠ ∠ ∴∠ ° ∴∠AOB=∠C+∠OBC=60° ∠ ∠ ∴∠ ° ∴∠ABO=180°-(∠AOB+∠A) ° ∠ ∴∠ ∠ =180°-(60°+30°) ° ° ° 题目中“半径”已有， 题目中“半径”已有， =90° ° AB是 的切线. ∴ AB是⊙O的切线. 得直线与圆相切. 得直线与圆相切 只需证“垂直” 即可 只需证“垂直”,即可C O B A

练习2.已知：如图， 是 的直径， 在 的 练习 .已知：如图，AB是⊙O的直径，D在AB的 的直径 延长线上， = , 在圆上 在圆上， 延长线上，BD=OB,C在圆上，∠CAB=30°, = ° 求证：DC是⊙O的切线 求证： 是 的切线. 的切线证明： 证明：连OC、BC, 、 , ∵AO=OC, = , ∴∠OCA=∠A=30°, ∴∠ = = ° ∴∠BOC=60°. ∴∠ = ° 是等边三角形. ∴△BOC是等边三角形 是等边三角形 ∴BD=OB=BC, = = , ∠D=∠BCD=30°. = =  …… 此处隐藏：3213字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……