正弦函数_余弦函数的性质

§1.4.2正弦余弦函数的性质(1)定义域 (2)值 域

-----------周期

(3)单调性 (4)奇偶性 (5)对称性

(6)周期性

要点回顾. 正弦曲线、余弦函数的图象 1)图象作法--- 几何法2)正弦曲线、余弦曲线y ( ,1)

五点法正弦曲 线( 2 ,0)

1 (0,0) -4 -3 -2 -

2

o-1

( ,0)

2

3

4

5

6

3 ( ,-1) 2

x

y(0,1) 1 -4 -3 -2 - (o ,0) 23 ( ,0)

( 2 ,1) 2 3 4

余弦曲 线5 6

2

-1

( ,-1)

x

思考1:今天是2013年12月9日，星期一，那么7 天后是星期几？30天后呢？为什么？因为 30=7x4+2

所以30天后与2天后相同，故30天后是星期三

正弦函数 y sin x( x R) 图像的形成 y=sinx x [0,2 ] sin(x+2k )=sinx, k Z y1

y=sinx x R

4

3

2

1

o

2

3

4

x

结合图像：在定义域内任取一个 ，由诱导公式可知：sin(x 2k ) sin x即

x

f ( x 2k ) f ( x)

由诱导公式可知： cos(x 2k ) cos x即

f ( x 2k ) f ( x)

概 念

1.一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零 的常数T,使得当x取定义域内的每一个值 时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做

周期函数非零常数T叫做这个函数的周期 2.对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周 期中存在一个最小的正数，那么这个最小 的正数就叫做f(x)的最小正周期。说明：我们现在谈到三角函数周期时，如果 不加特别说明，一般都是指的最小正周期。2

三角函数的周期性: y-2 y

y=sinx(x∈R)0X

2

xX+2π

4

自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的x o y x o 6π 12π 4π 8π

3.T是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期. (k为非零整数)1

注意: 1.定义是对定义域中的每一个x 值来说的, 只有个别的x 值满足:f ( x T ) f ( x ) 不能说T 是y f ( x )的周期. 例如 : sin(

4

2

) sin

4

, 但是 sin( ) sin .3 2 3

就是说 不能对x在定义域内的每一个值使 2 sin( x ) sin x ,因此 不是y sin x的周期. 2 23

性质1:正弦函数y=sinx,余弦函数y=cosx都 2 是周期函数，且它们的周期为 k (k z, k 0) 最小正周期是 2

判断下列说法是否正确 2 2 (1) x 时，sin( x ) sin x 则 3 3 37 (2)x 62 sin( 时， x 3 ) sin x

√ 一定不是 y sin x 的周期 ( ) 则2 3

一定是 y sin x的周期

() ×

例1、求下列函数的周期：

(1) y 3 cos x, x R ( 2) y sin 2 x, x R 1 (3) y 2 sin( x ), x R 2 6解:(1) ∵对任意实数

x

有

f ( x) 3 sin x 3 sin(x 2 ) f ( x 2 )

cos x 是以2π 为周期的周期函数.

(2)

sin(2 x) sin(2 x

2 ) sin 2( x ) , y sin 2 x 是以π 为周期的周期函数.

(3)

y 2sin( x ) 是以4π 为周期的周期函数. 2 6

1 1 2sin( x ) 2sin( x 2 ) 2 6 2 6 1 2sin ( x 4 ) , 6 2 1

函数

周期

y 3 cos x y sin 2 x 1 y 2 sin( x ) 2 61 y 2 sin( x ) 2 6

T 2

2 12 22 1 2 2 1 2

T T 4 T 4

函数 y A sin( x ), x R 及函数 y A cos( x ), x R 的周期两 个 函 数

y A sin( x ), x R y A cos( x ), x R T 2

(其中

A, ,

为常数且A≠0)

的周期仅与自变量的系数有关，那么如何 用自变量的系数来表述上述函数的周期？

解：

f x A sin x

A sin x 2 A sin x 2

2 A sin x

2 f x

T

2

归纳总结一般地，函数y A sin( x ), x R及函 数y A cos( x ), x R (其中A, , 为常 数, 且A 0, 0)的周期为 : T 2

.