09年高考数学对数函数与指数函数的导数

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3.5数函对数与 数指数 函的数

导

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、一复与引习：入. 1数函导的的定数与几义何义意 2..见常数函的数导式公 ..导数的四3运算法则则. 4.合复函的导数数公式 5.由.面几节前课的知,识们我已掌握了经初等数函中的幂 数函三、角函的数导数但还缺少,指函数数对、 数函数的导数,而这是就我们今天新学的要内容. 了有数指函、对数数数函的导数,也解就决了等函 数初的导性.

可二、

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新——指数、对函数课的导数：1对.函数的导数数:( 1x ) e . 下面给出公 式证明,的中用间重到要限 极im lx 0 证: y f( x ln)x , x xx y lnx ( x ) nlx nl l n ( 1;)x x x

1 (1) (l nx ) . x1 x

1 xy1 x x1 x x nl (1 ) n(l1 ) ln ( 1) ,x x x x x xx xx x y 1 x x1 x x y lmi l im l ( n 1) n ll[mi( 1) ] x 0 x x x x x0 x 0x1 1 ln e. x x

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1 () (l2g aox) log a.ex 证 利用:对数的换公式即得底:lnx 1 1l ogae l(o ag x) ( ) . nla lanx x 2指数.函数的导数x: 1) ((e) e . xx ( )2 ( )a aln a( a0 a, 1). x由于以上个两公式证明的需,用到要函反的数求导 法,这则经超出了目已我们的学前习围范,此因在 这里们我加不以明证直接拿来使,用.

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、三例选题讲：例:1下求列数的函数: 导(1y)=ln2x(+2x3+1 )()y2l= g1 x 2(3)=y2ecosx3 (x4y)=a5x1 4x 3 2( 2 x x 3 1) 2. :(1解)y 2 2 x3x 1 x2 x 3 1x lge (1 x ) 2 .2)法1: y( 2 22x 1 x 11 x 1 x

2glele

gx

12 y lg 1 x lg( 1 x ); ( 2法)2:2 21 gl xel ge y 2 ( 1 x ) 2.2 2 x 1 1x2x x22x ( )3y 2 eos3 c xe ( 3sin 3 x )e ( 2cos3x 3 si n3 ). (x)4y a x5lna (5x ) a5 5xl n.a

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例2:求列下数函导的:数 e 2 x e 2 x (1 y x x ;) ee(ex e x ) 22 x x2 x x x x 解: y e ;e e ( e ) e e x; x x ex ee e x x 2 2 e2 (1 e) x x x x x x y e e x x 2( e e) e e . 2 x2 e( e) (1 e) 1(2) y acosx (a 0 , a 1c)so1 x

:设y=a解uu,c=sv,v=1o/x,:则 y a ( )u uv v x au

11 l an ( si n )( 2 )xx

lna 1 si2n a xx

osc1x

.

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3例已:知(xf为)导可函数试,下列求数的函数导: f(x) x2x e (1y)f=lnx() (;)2=yf(e ); 3)y(f=e (). 1:(1)解y [f l( nx) ] f ( l xn ) ( n lx) f (n lx) .( 2) y [ (fex 2

) ]f (ef (e x2

x

2) (

e x

2 ) f(ex x

2 )(e x2)

( 2 x)

2xe

x

).2(3 y) [f e x )]( f (ex ) f e(x ) [ f e( x ) ] (fex ) e x f (ex )

f e ( ) x

fe( x)

f ( x )xx x f ( x )e [f ( ee ) f (e) f (x )].解此类应注题: (1)分意是清由些哪函复数合而的.成(2)用 逐的方法来进行步求导

.

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练:求下列函数习导的:数

1)(y 2;( ) y2 21

xogl3x

3()y 1 l x

(n4)y sn(lnix) si n xnlx答案

ln :2( ) 1 y 2 2 .(x)3y 1. x 21 l nx 1 x

2lo3g x ln 2( 2) y x ln.( 4) 3 y si xn co (ln x)s c s o lnxx. x

例4

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设:一质点的运规动律 为s e 2t in(s t ) ,,为 常 ,试求数=t/21时点质运的速动v0度. 2t 2 t ( e) si (n t ) e [s ni t () ] 解:v s t e2 t ( t 2) sin ( t ) e 2 t cos( t ) ( t ) 2 e2t in(s t ) e 2 ctos t( ).

当t=故1/2时,质点动运速度0v为: 1 0 v s | 1 [ 2 si( n ) c so( )]. t

e22

2

例5:求

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曲线y=lnxx的平行直线x-于+y=10切的线方程 解.设:该切与曲线线切相的点切(为0xx,l0x0).n 1 y x l n x x(n l x ) n xl x nl x 1. x故线曲点(在x,00lxx0)处n的切斜线率为nl0+x1.由已知可得ln:0+1x=1即,x=01,切故点(为,1).0 所所求以切方线程为y-=0x1,-即x-y-1=. 练习2:分0别求曲①线=lyoxg;e ②y ex e l nx 点在e(1), 的处线方程. 切案答①:+eyx-e20=,(1+②ex)-e-e2=y0 延.伸:设P点是曲线=yex任上意一,点求P到点线直yx的=最 距离. 小 2. 案:答2

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例

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6求:列函数下导的:数()y1=x(x>0);(x2)=[fyx)(](x)g. :解(1两)取对数边,l得n=xynlx 由.y于x的函是,由复数函数合的导法则求上对 式两边x求对,可得:导 1 1y ln x x ,y y( nl x 1 ) , y x x(nl x 1 ) .yx ( )2两取边对,得数ln=yg()lxfn()x,两对边x导求可得:,1f ( x) y g x () nlf ( x ) (g x) ; y y [g ( x)ln f ( x ) ( xg )f ( )x ] f ( y) f x(x g() x)f ( x ) y [f (x) ] g[( x) ln f ( x )( x g) . f (] )x 明:说()解法1可对ln能y求导易不理,事实上,若解=luy,n 1y =f(x,) 则u x uy y x f ( )x .y

(

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)2本用题求的方导习法上惯为称数对导法,即求两 先取边对数再对,求导.x般一适于用下两类列函数:①形 y如(x-a1=)x-(a2)…x(-n)的函a,取数对后数可( ,x a ) ( x1 an ) 将 积化为转的形式和, y 或 x (b () x b ,) n

1取数后对,可转为代数和化形式的 ②无.函数理或形如y=f[x)(](xg)这类幂函数.指 3()数求导对的优点法:是可一使题简问化(积单商、变和、差幂,根变、式)积,二可使较是杂函复数 求变为导能可(求无导公变为式求有公导式. )如下又面一题我就们两有不同种的解法:练习

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:用两不同种解法求的数 y 函 2 x x的数导 方.法:由于一y>,0故边取两数,对 得l n y n2l x ln x. 1 1 ln 1x 2 y ( x) n l x x (l nx) l nx x , y x x22 xln x 2 y 2x 2 xx xx

12

(lnx )2

方.法:二 y 2x y eln 2x2xxx nl x

e ln 2 x

x

e

n l 2xln x.1 ( nl x x ) x 2 x1

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