概率论课件：第1章第7讲

概率论

§ 1.6 独立性例如 箱中装有10件产品:7件正品,3件次品,甲买走

1件正品,乙要求另开一箱,也买走1件正品.记甲取到正品为事件A,乙取到正品为事件B,则7 P( B | A) P( B) 10 由乘法公式即得

P(AB)=P(A)P(B)从问题的实际意义理解，就是说事件A和事件B

出现的概率彼此不受影响.

定义: 若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立。 注意:从直观上讲,A与B独立就是其中任何一个事 件出现的概率不受另一个事件出现与否的影响. 推论1: A.B为两个事件,若P(A)>0, 则A与B独立等价于P(B|A)=P(B).

若P(B)>0,则A与B独立等价于P(A|B)=P(A).证明：A.B独立 <=>P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) <=>P(B|A)=P(B)

推论2:在 A与 B, A与 B,A与 B , 与 B 这四对 A 事件中,若有一对独立,则另外三对也相互独立。

证明 不妨设A,B独立,则P( AB ) P( A B ) P( A ) P( AB ) P( A ) P( A )P( B ) P( A )( 1 P( B )) P( A )P( B )

其他类似可证.

注意: 判断事件的独立性一般有两种方法:① ② 由定义判断,是否满足公式; 由问题的性质从直观上去判断.

例1. 某高校的一项调查表明:该校有30%的学 生视力有缺陷.7%的学生听力有缺陷,3%的学生 视力与听力都有缺陷,记P( A =“学生视力有缺陷”, A) 0.30

B =“学生听力有缺陷” P ( B ) 0.07

AB =“学生听力与视力都有缺陷”, AB ) 0.03 P(现在来研究下面三个问题：

(1)事件 A 与 B 是否独立？ 由于P ( A) P ( B ) 0.03 0.07 0.021 P ( AB )

所以事件 A 与 B 不独立，即该校学生视力与听力 缺陷有关联. (2)如果已知一学生视力有缺陷，那么他听力也 有缺陷的概率是多少？

这要求计算条件概率 P ( B A) ,由定义知

P ( AB) 0.03 1 P ( B A) P ( A) 0.30 10(3)如果已知一学生听力有缺陷，那么他视力也有缺陷的概率是多少？ 类似地可算条件概率

P ( AB) 0.03 3 P( A B) P ( B ) 0.07 7

有限个事件的独立性定义 (n个事件的相互独立性) 设有n个事 A1,A2,…,An,若对任何正整数m(2≤m≤n)以及1 i1 i2 im n, 都有 P(Ai1 Ai2 Aim ) P(Ai1 ) P( Ai2 ) P( Aim )

则称这n个事件相互独立. 若上式仅对m=2成立,则称这n个事件两两独立. 注意: 从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任 何一个事件出现的概率不受其余一个或几个事件 出现与否的影响.

例2 随机投掷编号为 1 与 2 的两个骰子事件A 表示

1号骰子向上一面出现奇数,B 表示2号骰子向上一面出现奇数,C 表示两骰子出现的点数之和为奇数. 则

P( A) P( B) P(C ) 1 / 2P( AB) P( BC ) P(CA) 1 / 4

P( A) P( B) P( B) P(C ) P(C ) P( A)

但

P( ABC ) 0 1 / 8 P( A) P( B) P(C )A, B, C 两两独立A, B,

C 相互独立

本例说明 不能由

例3 三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的 概率依次为0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立, 求电路断电的概率是多少? 解 设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电 ,

A表示电路断电,

则A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3, P(A)=P(A1+A2+A3)= 1 P( A1 A2 A3 )

1 P( A1 )P( A2 )P( A3 )=1-0.168=0.832

例4 已知事件 A, B, C 相互独立,证明:事件

A证

与

B C 也相互独立.

P A ( B C ) P( B C ) P A( B C ) P( B) P(C ) P( BC ) P( AB) P( AC ) P( ABC )

P( A ) P( B) P(C ) P( BC )

P( A ) P( B C )

例5 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为

0.4%, 求来自不同地区的100个人的血清混合液中含有肝炎病毒的概率. 解:设这 100 个人的血清混合液中含有肝炎病毒 为事件 A,第 i 个人的血清中含有肝炎病毒为事

件 Ai (i =1,2,…,100 ).

则

A Aii 1

100

P( A) 1 1 P( Ai ) i 1

100

1 (1 0.004)

100

0.33

例6

系统的可靠性问题

一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件 (或系统)的可靠性.系统由元件组成,常见的元件连接方式： 串联

11

2

并联 2