第二部分 函数图象中点的存在性问题

第二部分 函数图象中点的存在性问题

2.1 由比例线段产生的函数关系问题

例1 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinB 3，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于

5

点P，点O是边AB上的动点．

（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系； （2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；

（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．

图1 图2 图3

思路点拨

1．∠B的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱．

2．分三种情况探究等腰△OMP，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单．

3．探求y关于x的函数关系式，作△OBN的边OB上的高，把△OBN分割为两个具有公共直角边的直角三角形．

满分解答

（1） 在Rt△ABC中，AC＝6，sinB 所以AB＝10，BC＝8．

过点M作MD⊥AB，垂足为D．

在Rt△BMD中，BM＝2，sinB

MDBM

35

35

，

，所以MD

65

．

因此MD＞MP，⊙M与直线AB相离．图4

（2）①如图4，MO≥MD＞MP，因此不存在MO＝MP的情况．

②如图5，当PM＝PO时，又因为PB＝PO，因此△BOM是直角三角形． 在Rt△BOM中，BM＝2，cosB

BOBM

45

85

425

，所以BO

．此时OA ．

③如图6，当OM＝OP时，设底边MP对应的高为OE． 在Rt△BOE中，BE＝，cosB

23

BEBO

45

，所以BO

158

．此时OA

658

．

图5 图6

（3）如图7，过点N作NF⊥AB，垂足为F．联结ON． 当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON＝x＋y． 在Rt△BNF中，BN＝y，sinB在Rt△ONF中，OF于是得到(x 整理，得y

2

35

，cosB

45

，所以NF

45y

35

y

，BF

45

y

．

AB AO BF 10 x

45

35

，由勾股定理得ON2＝OF2＋NF2．

y) (10 x 250 50xx 40

y) (

2

y)

2

．

．定义域为0＜x＜5．

图7 图8

考点伸展

第（2）题也可以这样思考： 如图8，在Rt△BMF中，BM＝2，MF在Rt△OMF中，OF＝10 x 8在Rt△BPQ中，BP＝1，PQ在Rt△OPQ中，OF＝10 x ①当MO＝MP＝1时，方程(

35425

65

，BF

85

2

．

(42

622

x) ()． 55

5

x，所以OM

45

，BQ

465 x

．

(46

322

x) ()． 55

45

，所以OP2

42

622

x) () 1没有实数根． 5546

32422

x) () 1，可得x OA 555

②当PO＝PM＝1时，解方程(③当OM＝OP时，解方程(

42

．

6246326522 x) () ( x) ()，可得x OA 55558

例2 2012年连云港市中考第26题

如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．

（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行； （2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？

（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．图1

2

答案（1）当M、N都在O右侧时，OM

所以

OMOA

ONOB

OA

2 4t2

1 2t，

ONOB

6 4t6

1

23

t，

．因此MN与AB不平行．

（2）①如图2，当M、N都在O右侧时，∠OMN＞∠B，不可能△OMN∽△OBA． ②如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，∠MON＞∠BOA，不可能△OMN∽△OBA． ③如图4，当M、N都在O左侧时，如果△OMN∽△OBA，那么所以

4t 64t 2

26

ONOM

OAOB

．

．解得t＝2．

图2 图3 图4

（3）①如图2，OM 2 4t，OH 1

2t，MH 2t)．

NH ON OH (6 4t) (1 2t) 5 2t．

②如图3，OM 4t 2，OH 2t

1，MH t 1)．

NH ON OH (6 4t) (2t 1) 5 2t．

③如图4，OM 4t 2，OH 2t

1，MH t 1)．

NH OH ON (2t 1) (4t 6) 5 2t．

综合①、②、③，s MN2 MH2

NH2

222

t 1) (5 2t) 16t 32t 28 16(t 1) 12．

2

所以当t＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．

例3 2011年上海市中考第25题

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，

sin EMP

1213

．

（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；

（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．

图1 图2 备用图

思路点拨

1．本题不难找到解题思路，难在运算相当繁琐．反复解直角三角形，注意对应关系． 2．备用图暗示了第（3）题要分类讨论，点E在BC上的图形画在备用图中． 3．第（3）题当E在BC上时，重新设BP＝m可以使得运算简便一些．

满分解答

（1）在Rt△ABC中，BC＝30，AB＝50，所以AC＝40，sin A 在Rt△ACP中，CP AC sin A 40 在Rt△CMP中，因为sin CMP

CPCM

35

24． 1213341213

35

，tan A

34

．

，所以CM

x．

1312

CP

1312

24 26．

（2）在Rt△AEP中，EP AP tan A 在Rt△EMP中，因为sin EMP 因此MP

512

EP

512 34x

516

EPEM

，所以tan EMP

EP

1312 34x

1316

EPMP

125

．

x，EM

1312

x．

已知EM＝EN，PE⊥AB，所以MP＝NP 于是y BN AB AP NP 50 x 定义域为0＜x＜32．

（3）①如图3，当E在AC上时，由

AMME

516

x．

2116

x．

516

x 50

ENNB

，得

x

5

1613x16

x

131650

x21x

．

16

解得x＝AP＝22．

②如图4，当E在BC上时，设BP＝m，那么AP＝50－m． 在Rt△BEP中，EP

43m． 512

EP

512 4359m

59

m，EM 149

1312EP

1312 4m

139m． 59m

49

在Rt△EMP中，MP

所以AM AB BP MP 50 m

50

149mm

m 50