选修2-1 圆锥曲线---椭圆经典题型2

选修2-1 圆锥曲线---椭圆经典题型2

椭圆经典题型

1. 直线y kx 1(k R)与焦点在x轴上的椭圆的取值范围。

解：利用数形结合，直线系y kx 1恒过定点(0,1)，直线与椭圆总有公共线等

021

价于点(0,1)在椭圆内部 1即m 1又m 5故m [1,5)

5m

y x．

m 0．根据弦长公式得：

方程为 xy

1总有公共点，求m5m

22

x2y2

3. 在椭圆 1上一点P，求

P到直线l:3x 2y 16 0的距离最短。

47

x 2cos x2y2

解：设椭圆（ 为参数） 1的参数方程为

47 y 7sin

设(2cos ,

sin )为椭圆上任意一点，则它到l的距离为

d

6cos 2sin 16

8

18sin( ) 16

x2y2

练习：椭圆 1的焦点在x轴上，又对任何k R，直线l：y k(x 1) 1与

5m 5

椭圆总有公共点，则m取值范围是 。 ,5

4

22

4x y 1及直线y x m． 2. 已知椭圆

当sin( ) 1时，dmin

x2y2

4. 已知方程 1表示椭圆，求k的取值范围．

k 53 k k 5 0,

解：由 3 k 0,得3 k 5，且k 4．

k 5 3 k,

∴满足条件的k的取值范围是3 k 5，且k 4．

（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？

2（2）若直线被椭圆截得的弦长为5，求直线的方程．

222

4x x m 1，4x y 1y x m解：（1）把直线方程代入椭圆方程得

2

2222 2m 4 5 m 1 16m 20 0，解得5x 2mx m 1 0即．

2

练习：已知x2sin y2cos 1(0 )表示焦点在y轴上的椭圆，

求 的取值范围．

x2y211

解：方程可化为 1．因为焦点在y轴上，所以 0．

cos sin sin cos

因此sin 0且tan 1从而 (

5 m 22．

3

, )．

24

（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2，由（1）得

m2 1x1x2

5．

x1 x2

2m5，

5. 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(3, 2)和B( 2,1)两点的椭圆方程． 分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，

可设其方程为mx2 ny2 1(m 0，n 0)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，

直接可求出方程．

1

选修2-1 圆锥曲线---椭圆经典题型2

解：设所求椭圆方程为mx2 ny2 1(m 0，n 0)．由A(, 2)和B( 2,1)两点在椭圆上可得

22

11 m (3) n ( 2) 1, 3m 4n 1,

即所以，．故所求的椭圆方程为m n 22155 12m n 1, m ( 23) n 1 1,

又∵A，B在椭圆上，∴x1 4y1 36，x2 4y2 36两式相减得

(x1 x2) 4(y1 y2) 0，

2

2

2

2

2222

即(x1 x2)(x1 x2) 4(y1 y2)(y1 y2) 0．∴

y1 y2 (x1 x2)1

．∴直线方程为x2y2

15 5

1． 6. 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为

3

的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长． 分析：可以利用弦长公式AB k2x1 x2 (1 k2)[(x1 x2)2 4x1x2]求得， 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

AB k2x21 x2 (1 k2)[(x1 x2) 4x1x2]．因为a 6，b 3，所以c 33．因

为焦点在x轴上，

所以椭圆方程为x2y2

36

9

1，左焦点F( 3,0)，从而直线方程为y x 9． 由直线方程与椭圆方程联立得：13x2 723x 36 8 0．设x1，x2为方程两根，所以

x381 x2

7213

，

x1x2

36 13

，k 3， 从而

AB k2x1 x2 (1 k2)[(x21 x2) 4x1x2]

4813

．

7. 已知P(4,2)是直线l被椭圆x2y2

36

9

1所截得的线段的中点，求直线l的方程． 设直线与椭圆交点A(x1,y1)，B(x2,y2)．∵P(4,2)为AB中点，∴x1 x2 8，

y1 y2 4．

2

x1 x24(y1 y2)2

x 2y 8 0．