高等数学(考前要点复习)

第一 函数与极限

函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念，极值方法是最基本的方法，一切内容都将从这二者开始。

§1、 函 数 一、集合、常量与变量

1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C 等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a是集合M的一个元素，就记a M（读a属于M）；若事物a不是集合M的一个元素，就记a M或a M（读a不属于M）；集合有时也简称为集。

注 1：若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。

2：集合的表示方法：

可用列举出其全体元素的方法来表示，如：A {1,2,3, , (i)、若集合为有限集，就

鸡}； 10},B {一只猫，一只狗，一只

元素的规律，也可类似写出，如：A {1，2，3， }为全体自 (ii)、对无限集，若知道其

然数集，B {2，4，6， }为全体偶数集；

枚举法 (iii)、列不出全体元素或找不到元素规律的集合，若知其元素有某种性质，那么该集

}，即：有此性质的必在A中，且A中的元素必 合可表示为：A {xx所具有的某种性质

A {xx3 5x2 7x 3 0}；B {xx为我校的学生}；C {(x,y) 须有此性质。如：

(x,y)在D中}等。

3：全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R。以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。 4：集合间的基本关系：若集合A的元素都是集合B的元素，即若有x A，必有x B，就称A为B的子集，记为A B,或B A(读B包含A)。 显然：N Z Q R.

若A B,同时B A,就称A、B相等,记为A=B。

5：当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如：{1,2,2,3}={1,2,3}。

6：不含任何元素的集称为空集,记为 ,如：{xx2 1 0,x R}= ,{x:2x 1}= ,空集是任何集合的子集,即 A。

7：区间：所有大于a、小于b(a＜b)的实数组成一个集合,称之为开区间,记为(a,b),即(a,b)={xa x b} 。

同理：[a,b]={xa x b}为闭区间， a,b {xa x b}和 a,b {xa x b}分别称为左闭右开、左开右闭的区间，统称为半开区间。

以上均成为有限区间，a、b分别称为左、右端点。

对无穷区间有： ,b {xx b},(a, ) {xa x},( , ) {x x } R，

在不特别要求下，有限区间、无限区间统称为区间，用I表示。

8：邻域：设a和 为两个实数，且 0.集合{xx a }称为点a的 邻域，记为

U(a, ),a为该邻域的中心， 为该邻域的半径，事实上，

U(a, ) {xa x a } (a ,a )。

同理：我们称U(a, ) {x0 x a }为a的去心 邻域，或a的空心 邻域。 9：集合的内容很多，其它内容(如集合的运算)在此不作一一介绍了。

2、常量与变量：在自然科学中，我们会遇到各种不同的量，然而在观察这些量时，发现有着非常不同的状态，有的量在过程中不起变化，保持一定的数值，此量称为常量；又有些量有变化，可取各种不同的数值，这种量称为变量。

【例】掷同一铅球数次，发现铅球的质量、体积为常量，而投掷距离、上抛角度、用力大小均为变量。

注1：常量与变量是相对而言的，同一量在不同场合下，可能是常量，也可能是变量，如在一天或在一年中观察某小孩的身高；从小范围和大范围而言，重力加速度可是常量和变量，然而，一旦环境确定了，同一量不能既为常量又为变量，二者必居其一。

2：常量一般用a,b,c 等字母表示，变量用x,y,u,t 等字母表示，常量a为一定值，在数轴上可用定点表示，变量x代表该量可能取的任一值，在数轴上可用动点表示，如：x (a,b)表示x可代表(a,b)中的任一个数。

二、函数的概念

【例】正方形的边长x与面积S之间的关系为：S x2，显然当x确定了，S也就确定了。 这就是说，同一过程中变量之间往往存在着某种内在的联系。它们在遵循某一规律时相互联系、相互约束着。

定义：设x和y为两个变量，，D为一个给定的数集，如果对每一个x D，按照一定的

法则f变量y总有确定的数值与之对应，就称y为x的函数，记为y f(x).数集D称为该函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。

当x取数值x0 D时，依法则f的对应值称为函数y f(x)在x x0时的函数值。所有函数值组成的集合W {yy f(x),x D}称为函数y f(x)的值域。 注 1：函数通常还可用y g(x),y F(x),s u(t)等表示。

2：约定：函数的定义域就是自变量所能取的，使算式有意义的一切实数值的全体。 【例1】 y sinx的定义域为( , )，值域为[ 1,1]。 【例2】 y x的定义域为[ 1, )，值域为[0, )。

x2 1

【例3】 y

2 1 x

0 x 1x 0 1 x 0

x

的定义域为( ,0) (0, )，从而显然x

的定义域为[ 1,1]，值域为[0,2]。

【例4】 f(x) 1的定义域为( , )，h(x)

f(x) h(x)。

3、若对每一个x D，只有唯一的一个y与之对应，就称函数y f(x)为单值函数；若有不止一个y与之对应，就称为多值函数。如：x2 y2 1,x2 y2 1等。以后若不特别声明，只讨论单值函数。

4、函数的表示法有三种：解析法、图象法、列表法。其中解析法较普遍，它是借助于数学式子来表示对应法则，上例均为解析法，注意例3的法则是：当自变量x在(0,1]上

1

；当x在[ 1,0)上取值时，其函数值为1 x。2

（这种函数称为分段函数，在以后经常遇见，希望注意！）尽管有几个不同的算式，但它们合起来只表示一个函数！

取值，其函数值为x2；当x取0时，f(x)

5、对D中任一固定的x，依照法则有一个数y与之对应，以x为横坐标，y为纵坐标在坐标平面上就确定了一个点。当x取遍D中的每一数时，便得到一个点集

C {(x,y)y f(x),x D}，我们称之为函数y f(x)的图形。换言之，当x在D中变动时，点(x,y)的轨迹就是y f(x)的图形。 【例5】 书上的几个例子。（同学们自己看） 【例6】 例3的图形如下图

三、函数的几种特性

1、 函数的有界性：设y f(x)在D上有定义，若对 x D, M 0，使得：f(x) M，就称f(x)在D上有界，否则称为无界。

注：1、若对 x D， M，使得f(x) M(f(x) M)，就称f(x)在D上有上(下)界。f(x)在D上有界 f(x)在D上同时有上界和下界。

2、f(x)在D上无界也可这样说：对 M 0，总 x0 D，使得f(x0) M。 【例7】 上段例1、3、4中的函数是有界的；例2中的函数是无界的，但有下界。

2、函数的单调性：设函数f(x)在区间I上有定义，若对 x1、x2 I，当x1 x2时总有：

（1）f(x1) f(x2)，就称f(x)在I上单调递增，特别当严格不等式f(x1) f(x2)成立时，就称f(x)在I上严格单调递增。

（2）f(x1) f(x2)，就称f(x)在I上单调递减，特别当严格不等式f(x1) f(x2)成立时，就称f(x)在I上严格单调递减。

注：1、此处的定义与书上有区别，希望注意！

2、这样的函数分别称为单调函数和严格单调函数。 3、调递增有时简称单增、递增或不减，其它也一样。 【例8】 符号函数和取整函数均为单增函数，但不严格单调。

1

【例9】 y 在(0, )上是严格单减函数。

x

【例10】 [例3]中的函数在定义域[ 1,1]上不是单调的，但在[ 1,0)上是严格单减的，在

(0,1]上是严格单增的。

3、函数的奇偶性：设函数f(x)的定义域D为对称于原点的数集，即若x D，有 x D， (1) 若对 x D，有f( x) f(x)恒成立，就 …… 此处隐藏：10756字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……