简单的三角恒等变换作业及解答

巩固知识,提升能力。

简单的三角恒等变换作业

一、选择题：

πππ4

1.如果α∈(，π)，且sinα＝，那么sin(α＋＋cos(α＋＝ ( )

2544A.

4242323 B．－ C. D．－ 5555

2

2

2．在△ABC中，sinA＋cosB＝1，则cosA＋cosB＋cosC的最大值为 ( ) A.54 B. C．1 32

3.函数y＝2cos2

x的一个单调递增区间是 A．(－π4π4) B．(0，π2 C．π4，3π4 D．π

2

π)

4．化简2cos2α－1

2tan π 4α 等于 sin2 π 4α A．1 B．－1 C．cosα D．－sinα

5．(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)的值是 A．2 B．4 C．8 D．16

6.(2010·大连模拟)若0≤α≤2π，sinα＞α，则α的取值范围是 A．(π3π2 B．(π3，π) C．(π34π3) D．(π3π

32)

二、填空题：

7．在△ABC中，已知cos(π4＋A)＝3

5，则cos2A的值为________．

8．已知sinαcosβ＝1

2，则cosαsinβ的取值范围是________．

三、解答题：

9．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x. (1)求f(π

4

的值；

(2)设α∈(0，π)，f(α22，求sinα的值．

( ) ( )

( ) ( )

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10．求证：tan2x＋

2(3＋cos4x)12

tanx1－cos4x

ππ

11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)

22一个周期的图象如图所示． (1)求函数f(x)的表达式；

π24

(2)若f(α)＋f(α－)＝，且α为△ABC的一个内角，求sinα＋cosα的值．

325

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简单的三角恒等变换作业及答案

一、选择题：

πππ4

1.如果α∈(，π)，且sinα＝，那么sin(α＋＋cos(α＋＝ ( )

2544A.

4242323 B．－ C. D．－ 5555

4π3解析：∵sinα＝，α＜π， ∴cosα＝－，

525而

sin(α＋

ππ)＋cos(α＋)＝44

sin(α＋

π

)＝2

cosα＝－

3. 5

答案：D

2．在△ABC中，sin2A＋cos2B＝1，则cosA＋cosB＋cosC的最大值为 ( ) 53A. B. C．1 42解析：由sin2A＋cos2B＝1，得sin2A＝sin2B，

∴A＝B，故cosA＋cosB＋cosC＝2cosA－cos2A＝－cos2A＋2cosA＋1. π13又0＜A＜0＜cosA＜1. ∴cosA＝.

222答案：D

3.函数y＝2cos2x的一个单调递增区间是 ( ) ππππ3ππ

A．(－) B．(0， C．， D．π)

442442π

解析：函数y＝2cos2x＝1＋cos2x，它的一个单调递增区间是(，π)．

2答案：D

2cos2α－1

4．化简等于 ( )

ππ2 2tan 4α sin 4α A．1 B．－1 C．cosα D．－sinα

cos2αcos2αcos2α

解析：原式＝＝＝1.

ππππ 2sin－α 2sinα cos α sin2α 44422π

sinα π4 cos α 4答案：A

5．(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)的值是 ( ) A．2 B．4 C．8 D．16 解析：∵1＝tan45°＝tan(21°＋24°)＝

tan21°＋tan24°

，

1－tan21°tan24°

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∴1－tan21°tan24°＝tan21°＋tan24°， 即tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＝1，

∴(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＋1＝2， 同理(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝2，

∴(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)＝2×2＝4. 答案：B

6.(2010·大连模拟)若0≤α≤2π，sinα＞α，则α的取值范围是 ( ) ππππ4ππ3πA．( B．(，π) C．() D．()

3233332π

解析：sinα＞α，即sinα－α＞0，即2sin(α－)＞0，

3πππ5π

即sin(α－＞0.又0≤α≤2π，故－≤α－3333ππ4π

综上，0＜α－π，即＜α＜333答案：C 二、填空题：

π3

7．在△ABC中，已知cos(＋A)＝，则cos2A的值为________．

45πππ3

解析：＋A)＝coscosA－sinA＝A－sinA)＝，

44425∴cosA－sinA3＞0. ① 5

ππ

∴0＜A＜∴0＜2A＜42①2得1－sin2A＝答案：

24 25

18724，∴sin2A＝ ∴cos2A＝－sin2A＝252525

1

8．已知sinαcosβ＝，则cosαsinβ的取值范围是________．

2

解析：法一：设x＝cosαsinβ，

11

则sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝＋x，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝x.

22∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，

－1≤2x≤1，

∴ 1

－1≤2x≤1，

1

－2x≤2，∴ 13 －2x≤2.

31

11

∴－≤x≤22

巩固知识,提升能力。

1

法二：设x＝cosαsinβ，sinαcosβcosαsinβ＝. 即sin2αsin2β＝2x.

211

由|sin2αsin2β|≤1，得|2x|≤1，∴－≤x≤.

2211

答案：[－]

22三、解答题：

9．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x. π

(1)求f(的值；

4

α(2)设α∈(0，π)，f(，求sinα的值．

22

πππ

解：(1)∵f(x)＝sin2x＋cos2x， ∴f(＝sincos1.

422απ1π(2)∵f()＝sinα＋cosα ∴sin(α＋＝，cos(α＋＝.

224242ππ1 3sinα＝sin(α＋)＝－)×4422224∵α∈(0，π)，∴sinα＞0.故sinα＝10．求证：tan2x＋

＋. 4

2(3＋cos4x)1tan2x1－cos4x

sin2xcos2xsin4x＋cos4x(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x

证明：左边＝22＝ 22

cosxsinxsinxcosx12

2x4

11

1－sin22x1－22x

8－4sin22x4＋4cos22x4＋2(1＋cos4x)2(3＋cos4x)22

＝＝＝

1211－cos4x1－cos4x1－cos4x1－cos4xsin2x－cos4x)48＝右边． ∴tan2x＋

2(3＋cos4x)1

tanx1－cos4x

ππ

11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜22

一个周期的图象如图所示． (1)求函数f(x)的表达式；

π24

(2)若f(α)＋f(α－)＝，且α为△ABC的一个内角，求sinα＋cosα的值．

325

ππ

解：(1)从图知，函数的最大值为1，则A＝1. 函数f(x)的周期为T＝4×(＝π.

126而T＝

2πππ

，则ω＝2.又x＝－时，y＝0， ∴sin[2×(－

)＋φ]＝0. ω66

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