2011年考研数学一答案解析

考研数学

2011年考研数学一真题答案解析

选择题

1、 曲线y x 1 x 2 x 3 x 4 的拐点是（ ）

2

3

4

（A）（1，0） （B）（2，0） （C）（3，0） （D）（4，0）

【答案】C【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由y x 1 x 2 x 3 x 4 可知1,2,3,4分别是y x 1 x 2

2

3

4

2

x 3 x 4

34

0

的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知y (1) 0，y (2) y (3) y (4) 0

y (2) 0，y (3) y (4) 0，y (3) 0,y (4) 0，故（3，0）是一拐点。

2、 设数列 an 单调减少，liman 0，Sn

n

a n 1,2 无界，则幂级数 a x 1

k

n

n

n

的收敛域

k 1n 1

为（ ） （A） (-1，1] （B） [-1，1) （C） [0，2) （D）(0，2]

【答案】C【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】Sn

ak n 1,2 无界，说明幂级数 an x 1 的收敛半径R 1；

n

n

k 1n 1

an an 单调减少，lim

n

0，说明级数 an 1 收敛，可知幂级数 an x 1 的收敛半径R 1。

n 1

n 1

n

n

n

因此，幂级数

a x 1

nn 1

的收敛半径R 1，收敛区间为 0,2 。又由于x 0时幂级数收敛，x 2时

幂级数发散。可知收敛域为 0,2 。

3、 设 函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x) 0，f(0) 0，则函数z f(x)lnf(y) 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）

（A） f(0) 1，f (0) 0 (B) f(0) 1，f (0) 0 (C) f(0) 1，f (0) 0 (D) f(0) 1，f (0) 0

【答案】C【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。 【解析】由z f(x)lnf(y)知zx f (x)lnf(y),zy

f(x)f (x)

f (y)，zxy f (y) f(y)f(y)

考研数学

2

f(y)f(y) (f(y))

zxx f (x)lnf(y)，zyy f(x)

f2(y)

所以zxy

x 0y 0

f (0)

f (0) 0，zxx f(0)

x 0y 0

f (0)lnf(0)，

zyy

x 0y 0

f (0)f(0) (f (0))2

f(0) f (0) 2

f(0)

要使得函数z f(x)lnf(y)在点(0,0)处取得极小值，仅需

f (0)lnf(0) 0，f (0)lnf(0) f (0) 0

所以有f(0) 1，f (0) 0

4、设I

4

lnsinxdx,J 4lncotxdx,K 4lncosxdx，则I,J,K的大小关系是( )

（A）I J K （B）I K J （C）J I K （D）K J I 【答案】B

【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。 【解析】x

(0,

4

)时，0 sinx

cosx cotx，因此lnsinx lncosx lncotx 2

4

lnsinxdx

4

lncosxdx

4

lncotxdx，故选（B）

5. 设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第一行得单位矩阵.记

100 100 10 ,P 001 ,则PA ( ) 1 1 2

001 010

（A）PP1P2 （C）P2P1 12 （B）P2P1 （D）P

【答案】D【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。 【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知AP所以A BP11 B，P2B E，

1

1 1

P2 1P P2P故选（D） 11，

1

1

6、设 1, 2, 3, 4 是4阶矩阵， 为 的伴随矩阵，若 1,0,1,0 是方程组 x 0的一个基础解系，

则 x 0基础解系可为（ ）

(A) 1， 3 (B) 1， 2 (C) 1， 2， 3 (D) 2， 3， 4

考研数学

【答案】D【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定的灵活性。

【解析】由 x 0的基础解系只有一个知r(A) 3，所以r(A) 1，又由AA AE 0知， 1, 2, 3, 4

都是 x 0的解，且 x 0的极大线生无关组就是其基础解系，又

1 1 00

A 1, 2, 3, 4 1 3 0，所以 1, 3线性相关，故 1， 2， 4或 2， 3， 4为极大无 1 1 0 0

关组，故应选（D）

7、设F1 x ,F2 x 为两个分布函数，其相应的概率密度f1 x ,f2 x 是连续函数，则必为概率密度的是( ) （A）f1 x f2 x （B）2f2 x F1 x

（C）f1 x F2 x （D）f1 x F2 x f2 x F1 x 【答案】D【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。 【解析】检验概率密度的性质：f1 x F2 x f2 x F1 x 0；

f1 x F2 x f2 x F1 x dx F1 x F2 x 1。可知f1 x F2 x f2 x F1 x 为概率密度，故

选（D）。

8、设随机变量 与 相互独立，且 与 存在，记U max x,y ,V min x,y ，则 (UV) （ ） (A) U V (B) (C) U (D) V

【答案】B【考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。计算时需要先对随机变量UV进行处理，有一定的灵活性。

【解析】由于UV max{X,Y}min{X,Y} XY

可知E(UV) E(max{X,Y}min{X,Y}) E(XY) E(X)E(Y) 故应选（B） 二、填空题 9、曲线y

x

tantdt 0 x 的弧长s=

4

考研数学

【答案】1

4

【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。

【解析】s

4

y

'2

dx

x

4

tanxdx

2

4

secx 1dx tanx x04 1

2

4

10、微分方程y y e【答案】y sinxe

x

cosx满足条件y(0) 0的解为y

【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。 【解析】原方程的通解为

1dx1dx

y e [e xcosx e dx C] e x[cosxdx C] e x[sinx C]

由y(0) 0，得C 0，故所求解为y sinxe 11、设函数F x,y 【答案】4

【考点分析】本题考查偏导数的计算。

2223

Fysinxy 2Fycosxy 1 xy 2xysinxy 2F

【解析】。故2 ,2 22222 x1 xy x x 1 xy

x

xy

sint 2F

dt，则2

1 t2 x

x 0y 2

4。

x 0y 2

12、设L是柱面方程x y 1与平面z x y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分

22

L

y2

xzdx xdy dz

2

【答案】

【考点分析】本题考查第二 …… 此处隐藏：7297字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……