一个多人追逐问题的数学模型和matlab仿真

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《陡院钔瓠 )07第 4 20年期

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个多人追逐问题的数学模型和 mal t b仿真 a黄会明汪燕(陵学院，安徽铜陵铜24o ) 4 o o

摘

要：追逐问题是现实生活中的常见问题，文就三人绕正三角形的追逐问题建立起了两个数学模型：本一个充分应用运动的周期性首先给出了三人共边的充要条件，后直接给出在一个周期内三人共边的次数及起止时刻，一个则然另利用初等数论的方法给出了三人共边的另一个充要条件；用 malb长于计算和强大的绘图功能，文分别给出利 t a本 了求解两个模型的 malb程序，过动画仿真演示三人绕正三角形的追逐模型，给出三者共边的时间起止点和 t a通并共边的次数。

关键词：追逐问题；数学模型；malb程序；动画演示 t a中图分类号：O161 5. 文献标识码： A文章编号： 6 2 0 4 (0 7 0— 1 9 0 1 7— 5 7 2 0 )4 0— 5 1

1引言及问题 .

使得 ( )成立的最小正整数只能是 k 1, 8p 5 1式= 0/,=,=所以最小正周期 T 3 0。 _ 0 s

当前数学建模竞赛在世界各国开展得如火如荼，我国也不例外。学建模竞赛涉及到自然科学、程技术、济、数工经 管理等领域的方方面面，数学模型能为这些领域中的很多问题提供有力的数学上的解答 .这正是数学建模竞赛的生命力之所在。文解决了如下一类多人追逐问题，实现了本并 ma a真。甲乙丙三人绕着正三角形 A l f b仿 BC跑道 (图 1,见 )甲自顶点 B出发。乙自顶点 C出发，自顶点 A出发，同向 (时 丙以反

关于三人追逐共边的问题。只要我们把第一个周期内的共边情况讨论清楚了 .三人追逐共边的问题也就迎刃而解了。

首先我们给出如下两个结论： 定理 1条件如问题所述 .则甲乙丙在追逐过程中不相逢于三角形上任何一点。

证明前面我们已经说明。在所给条件下甲乙丙追逐 运动是周期运动。小正周期为 T 30。以我们只需讨最=0 s

所论第一个周期内的情形就够了。在一个周期内，甲路程为S= 0 3 O 3 O m。好从顶点 B出发沿正三角形 AB l1 x O= 0 O刚 C跑了 1 0圈回到 B,乙路程为 S= x 0= 4 0刚好从顶点 C出发 28 3 0 2 0 m,图l C( 乙)

针方向)前进 .设三角形每边长 10米， 0甲每秒跑 1 0米。乙每秒跑

8米。每秒跑 5米。在什么时丙问候开始三人第一次在三角形的同一

甲)边上跑？什么时候第二次？第三 B(

沿正三角形 AB跑了 8圈回到 CC丙路程为 S= x 0= 5 0刚。￣5 3 0 1 0 m,

次？并推出什么时候第 2 0次？ 本文为该问题建立了两个数学模型：一个利用运动的周期性直接给出在一个周期内三人共边的次数及起止时

好从顶点 A出发沿正三角形 AB C跑了 5圈回到 A。假设甲乙丙相逢于正三角形 A C上反时 B

刻：另一个则利用初等数论的方法给出了三人共边的充要条件。利用 mal并 t b长于计算和强大的绘图功能。别给 a分

针方向距离顶点 C m处 (图 见甲) 2,则 0 x 3 0假设甲跑了 k B( )<￣<0。 图2 C乙) (

出了求解两个模型的 ma a序。 t b程 l通过动画仿真演示三人绕正三角形的追逐模型 .并给出三者共边的时间起止点和共边的次数。2数学模型 .

圈到达相逢点 .乙跑了 Z到达圈相逢点，跑了 p圈到达相逢点， kl为整数，分别丙则，, p且取为 k- 1, 3, 5, 7, 9;- 1 2, 4, 6, p- 1 - 0, 2, 4, 6, 8, l O,, 3, 5, 7; - 0,,

易知，乙丙三人绕正三角形追逐运动是周期运动， 甲我们首先求其最小正周期 T。设在一个周期内。、、分别 甲乙丙绕正三角形 A C奔跑的圈数为 k p其中 k P为正整 B , 数，由时间速度位移关系。 则得30 3 0 0k 0/ 30 0P

2 3 4此时甲所走路程为 3 0+ 0+。乙所走路程为，,; 0 k 10 x 3 0+。所走路程为 3 0+ 0+。由路程速度的关系 . 0/x丙 0p 2 0 x我们可得如下方程：(0 k+1 0+:3

0+:3 0 30 0 ) (0 l ) (0 p+2 0 ) 0:: 0+=1 8 5 () 2

】 0下 8 5,■’ 收稿日期： 0 7 0 - 9 2 0— 6 0

L) ( 1

根据 ()得到一个方程组： 2式

作者简介：黄会明(94 )男， 18一，安徽安庆人，铜陵学院计算机系信息管理专业学生；

汪燕(95 )女， 18一，安徽安庆人，铜陵学院计算机系信息管理专业学生。

19 1

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<陡譬{ )07桐院譬 f 20年第 4;期()进、中、出； 5丙甲乙 ()进、中、出； 6丙乙甲(-甲乙相逢，时根据三人在同一条边的位置又有 -)此

,

I0 k 1 0=23 0 30+ 0+ (0 p+2 0 ) 0+ {(0 l =83 0 2 0 ) 53 0+ ) (0 p+ 0+

I(0k 0+ ) 03 0+ 83 0+10 =1 (0 l )在居 P的取值范围内，没有解，表明甲乙丙既不 这相逢于 C点也不相逢于任何一点。 对上述问题证明的 malb程序。 t a %甲的速度是 1 m/S 0,乙的速度是 8 m/S,丙的速度是 5 m/s

2种情形： ( )乙进，丙出； 1甲( )进，乙出； 2N甲 ( )丙相逢，时根据三人在同一条边的位置又有 -乙此

2种情形：()丙进，出； 1乙甲 ()进， 2甲乙丙出； ( )甲相逢，时根据 -.四丙此 - K在同一条边的位置又有 2种情形： ()甲进，出； 1丙乙 () 2乙进，甲出。丙

%此程序是验证甲乙丙在三边上任何一点都不相逢。ce r la

v[;=]f =0: orp 5

18 p;=, 5k=2 p;

、[,3 0 k 6 0 - 0=5 0 18 0 P 1 0/=10 , v (0= -0 p 30 0 -0一 6 03 2 0 k 1 0 14 o] - 5 0 + o );ed n

根据对第一个周期内以上 1 2种情形稍加分析 (了使 为问题易于分析，于甲乙丙共边时有一进一出、进两出、对一 两出一出三种情况的出现。由于此刻三者虽共边但运动方向不同，不考虑该共边起止时间相同的点 )可得在一个故，周期内甲乙丙共边当且仅当下述

情形之一发生： () 1甲进入该边时乙丙还没有走出该边，时共边的起 此止时刻分别就是甲进入该边的时刻和乙走出该边的时刻； ( )丙同时进入该边时乙还没有走出该边，时共边 2甲此

%若 v为 O明方程组无解说、=、,=,

定理 2条件如问题所述。则 ( )乙在追逐过程中相逢且只能相逢于顶点 A; 1甲 ()丙在追逐过程中不相逢于任何一顶点； 2乙 ( )甲在追逐过程中相逢且只能相逢于顶点 C; 3丙 证明：1 ( )证明甲乙只能相逢于顶点 A。在一个周期内，路程为 S= 0 3 0 3 0 m,好从顶点 B出发沿正 甲 l1x 0= 00刚三角形 A C跑了 1圈回到 B,乙路程为= x 0= B O 8 30 2 0 m.好从顶点 C出发沿正三角形 AB 40刚 C跑了 8圈回到

的起止时刻分别就是甲丙进入该边的时刻和甲乙走出该边的时亥： U

( )丙同时进入该边时乙还没有走出该边，时共边 3甲此的起止时刻分别就是甲丙进入该边的时刻和乙走出该边的时亥： U

C。假设甲乙相逢于正三角形 AB C上反时针方向距离顶点A m处 (图 3, 0< 0。假设甲跑了 k圈到达相逢 见 )则￣x 3 0点 .乙跑了 Z到达相逢点。 圈则

( )乙丙不相逢， 4甲乙进入该边时甲丙还没有走出该边 .此时共边的起止时刻分别就是乙进入该边的时刻和甲丙或甲走出该边的时刻；

k.为整数。且分别取值为 k O Z -,1, 3, 5, 7, 9; -0,1, 3, 2, 4, 6, 8, l- 2,

( )乙丙不相逢，进入该边时甲乙还没有走出该 5甲丙边 .此时共边的起止时刻分别就是丙进入该边的时刻和甲走出该边的时刻； 根据模型一的描述我们得到在第一个周期内三者的共 边情形：B( )甲 图3 C( 乙)

4 5 6 7此时甲所走路程为。,,; 3 0 2 0 .乙所走路程为 0 k+ 0 3 0+ 0+ …… 此处隐藏：10273字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……