相似三角形经典大题解析答案

1.【答案】解：（1） MN∥BC

△AMN∽△ABC

hx3x

h 684

（2） △AMN≌△A1MN

△A1MN的边MN上的高为h，

①当点A1落在四边形BCNM内或BC边上时，

1133

·h x·x x2（0 x≤4） y S△A1MN=MN2248②当A1落在四边形BCNM外时，如下图(4 x 8)，

EF上的高为h1， 则h1 2h 6 设△A1EF的边

3

x 6 2

EF∥MN

△A1EF∽△A1MN

△AMN∽△ABC △A1EF∽△ABC 1

S△A1EFS△ABC

h

1 6

2

1

S△ABC 6 8 24

2

2

S△A1EF

3 x 6 32

24 x 1x2

2 6

2 4

39 3

y S△A1MN S△A1EF x2 x2 12x 24 x2 12x 24

88 2

所以 y

92

x 12x 248

(4 x 8)

32

x，取x 4，y最大 6 8

综上所述：当0 x≤4时，y 当4 x 8时，y 取x

92

x 12x 24， 8

1616，y最大 8 8 6 当x 时，y最大，y最大 8 33

2

2.【答案】解：（1） 2)， 该抛物线过点C(0， 可设该抛物线的解析式为y ax bx 2．

0)，B(1，0)代入， 将A(4，

1 a ，

16a 4b 2 0， 125 2得 解得 此抛物线的解析式为y x x 2．

22 a b 2 0. b 5.

2

（2）存在．

如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为 当1 m 4时，AM 4 m，PM 又 COA PMA 90°，

125

m m 2， 22

125

m m 2． 22

①当

AMAO2

时， PMOC1△APM∽△ACO，

即4 m 2

125

m m 2 ．

2 2

解得m1 2，m2 4（舍去）， P(2，1)． ②当

AMOC115

时，△APM∽△CAO，即2(4 m) m2 m 2． PMOA222

解得m1 4，m2 5（均不合题意，舍去）

1)． 当1 m 4时，P(2，

类似地可求出当m 4时，P(5， 2)． 当m 1时，P( 3， 14)．

1)或(5， 14)． 综上所述，符合条件的点P为(2， 2)或( 3，

3.【答案】（1）解：由

28

A点坐标为 4，x 0，得x 4． 0 ．

33

B点坐标为 8，．由 2x 16 0，得x 8．0

∴AB 8 4 12．

28 y x ， x 5， 由 解得∴C点的坐标为 5，．6 33

y 6． y 2x 16．

∴S△ABC

11

AB·yC 12 6 36． 22

yD （2）解：∵点D在l1上且xD xB 8，

28

8 8．∴D点坐标为 8，．8 33

又∵点E在l2上且yE yD 8， 2xE 16 8． xE 4．∴E点坐标为 4，．∴OE 8 4 4，EF 8． 8

（3）解法一：①当0≤t 3时，如图1，矩形DEFG与△ABC重叠部分为五边形

CHFGR（t 0时，为四边形CHFG）．过C作CM AB于M，则

R△tRGB∽R△tC．M B

（图2）

（图3）

（图1）

∴

BGRGtRG

，，即 ∴RG 2t． BMCM36 Rt△AFH∽Rt△AMC，

112

∴S S△ABC S△BRG S△AFH 36 t 2t 8 t 8 t ．

223

421644

t ．即S t

333

8当3 t 8时，如图2，为梯形面积，∵G（8－t,0）∴GR=2(8 t)

3

∴

3

8

2t,

3

1282t880 s 4[(4 t) 8 ] t

233333

当8 t 12时，如图3,为三角形面积，

s4【答案】解： （1）PM

12tt2

(8 )(12 t) 8t 48 233

3

， 4

（2）t 2，使△PNB∽△PAD，相似比为3:2 （3） PM⊥AB，CB⊥AB， AMP ABC，

PMAMPMa tt(a t)

△AMP∽△ABC， ， PM 即，

BNABtaa

QM 3

t(a 1)

a

(QP AD)DQ(MP BN)BM

22

当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即

t(a t) t

3 3(a 1) (a t) t t

aa 化简得t 6a，

6 a22 t≤3，

6a

3 a≤6， ≤3，则a≤6，

6 a

（4） 3 a≤6时梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等

梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CN PM

t6a (a t) 3 t，把t 代入，解之得a

a

6

aa

所以，存在a，

当a PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等． 5.【答案】 解：(1)△BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以

BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=60,所以△BPQ是等边三角形.

(2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t·sin60=3t,由AP=t,得PB=6-t,

所以S△BPQ=

112

×BP×QE=(6-t)×t=－t+3t； 222

(3)因为QR∥BA,所以∠QRC=∠A=60，∠RQC=∠B=60，又因为∠C=60, 所以△QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ·cos60=

1

×2t=t, 2

所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ是平行四边形, 所以PR=EQ=t,又因为∠PEQ=90,所以∠APR=∠PRQ=90.因为△APR～△PRQ,

所以∠QPR=∠A=60,所以tan60=

00

QR66 2t

3,所以t=, ,即

PR53t

6

时, △APR～△PRQ 5

6. （1）证明：在△ADC和△EGC中， ADC EGC Rt ， C C △ADC∽△EGC EGCG ADCD

（2）FD与DG垂直

所以当t=

证明如下：

在四边形AFEG中，

3分 4分 B

F E

C

FAG AFE AGE 90

四边形AFEG为矩形 AF EG

EGCGAFCG

由（1）知

ADCDADCD

△ABC为直角三角形，AD BC

FAD C △AFD∽△CGD ADF CDG

又 CDG ADG 90 ADF ADG 90

即 FDG 90 FD DG

6分

8分

10分

（3）当AB AC时，△FDG为等腰直角三角形， 理由如下：

AB AC， BAC 90 AD DC

由（2）知：△AFD∽△CGD

FDAD

1 FD DG GDDC

又 FDG 90 △FDG为等腰直角三角形

12分

3

， （2）t 2，使△PNB∽△PAD，相似比为3:2 4

（3） PM⊥AB，CB⊥AB， AMP ABC，

PMAMPMa tt(a t)

△AMP∽△ABC， ， PM 即，

BNABtaa

t(a 1)

QM 3

a

(QP AD)DQ(MP BN)BM

当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即

22

7. （1）PM

t(a t) t

3 3(a 1) (a t) t t

aa 化简得t 6a，

6 a22 t≤3，

6a

3 a≤6， ≤3，则a≤6，

6 a

（4） 3 a≤6时梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等

梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CN PM

t6a (a t) 3 t，把t 代入，解之得a

a

6

aa

所以，存在a，

当a PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等．

例1． 解 ABCD是平行四边形，∴AB//CD,AB CD，∴ AEF∽ CDF，

又AE:EB 1:2，∴AE:CD 1:3，∴ AEF与 CDF的周长的比是1：3． 又

S AEF1

()2,S AEF 6(cm2)，∴S CDF 54(cm2)． S CDF3

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