圆锥曲线焦点弦的性质面面观

数学论文二

第21卷　第2期2008年6月文山师范高等专科学校学报

JOURNALOFWENSHANTEACHERSCOLLEGE

Vol121　No12Jun12008

圆锥曲线焦点弦的性质面面观

玉邴图

(广南县第一中学,云南广南663300)

[摘要]在圆锥曲线中,焦点弦是一个非常重要的几何量,是各类考试的重点和热点,长考不衰,角

度常变,可谓考试中的常青树,所以,值得我们研究1文章介绍圆锥曲线焦点弦的一些重要的有趣的性质,并举例说明它们的应用1

[关键词]焦点弦;性质;应用

[中图分类号]　O12313　[文献标识码]　A　[文章编号]　1671-3303(2008)02-0112-05现代的教学理念要求教师要善于引领学生研究一些难易适中的数学问题,研究它的性质与应用,这样做,对学生的思维训练是非常有益的1不但对原数学问题理解得更加深刻,而且还发现一些具有规律性的结论1另一方面,研究和应用过程也是一种发现和创新的过程1下面以圆锥曲线的焦点弦为例,以示抛砖引玉1

定义　经过圆锥曲线焦点且被圆锥曲线截得的线段叫做圆锥曲线的焦点弦1经过对焦点弦进行研究,定理1　PQ是经过椭圆22=1(a>b>0),e,则有

ab(1)当P、Q两点在y(2)当P、Q2

2

>e1证明　为右焦点(c,0)1

(1)由题意知

2222

α22

tan]tanα2=2=2-1]1+tanα2]12ccceecosα(2)由题意知

2222

α22

tan]tanα2=2=2-1]1+tanα2]12ccceecosα

2

2

e

2

]<e1cos

e

2

]>e1cos

定理2　l是经过双曲线2-2=1(a>0,b>0)焦点F且倾斜角为α的直线,双曲线的离心率为e,则有

ab(1)当直线l与双曲线的两个交点P、Q在双曲线的同支上时,(2)当直线l与双曲线的两个交点P、Q在双曲线的异支上时,(3)当直线l与双曲线有且只有一个交点时,

coscose

;

e

;

=cos

e

1

证明　由对称性,

不妨设F为右焦点(c,0)1

(1)因为P、Q在双曲线的同支上,由渐近线斜率与弦PQ的斜率的关系知

222

2222

]tanα>21tan=e-1]1+tanα>e]cos2

a

a

a

e

[收稿日期]2008-04-27

[作者简介]玉邴图(1958-),男,壮族,云南广南人,云南省特级教师,全国模范教师,主要从事教学管理与解析几何理论

研究1

211

数学论文二

第21卷文山师范高等专科学校学报2008年　第2期

(2)因为P、Q在双曲线的异支上,由渐近线斜率与弦PQ的斜率的关系知222

]tan2α<2tan=e-1]1+tanα<e]2

aaa

2

2

2

cos

e

1

(3)因为直线l与双曲线有且只有一个交点,且l经过双曲线的焦点,所以直线l与双曲线的渐近线平

行,故有

=]tan2α2=2=e2-1]1+tan2α=e2]tan

aaa

2

2

2

=cos

e

1

定理3　经过横向型圆锥曲线焦点F作斜率是k或倾斜角为θ的直线,交圆锥曲线于P、Q两点,若离

心率是e,焦点到相应准线的距离为p,则

2

()PQ=21222

k-e+11-ecos证明　设E是与焦点F相应准线和对称轴的交点,由对称性,不妨以有向直线EF所在直线为x轴,F

(1)为坐标原点建立直角坐标系,则F(0,0),经过F的直线AB的方程为y=kx

设P(x,y)是圆锥曲线上的一点,它到准线的距离为d,则由圆锥曲线定义知PF=ed,由此可得圆

锥曲线方程为x+y=ex+p

222222

将(1)代入(2)得(1+k-e)x-2epx-ep=0

由弦长公式得L=(1+k)[(x1+x2)-4x1x2]将方程(3)的两根之和与积代入(4)得

22

)θL=PQ2122222

k-e+11+tanθ-e1-ecos定理4　设F是横向型圆锥曲线焦点,过F0,

=λ(λ>1),ep,则FB

2

2

22

(2)(3)(4)

,

λ-θ=①ecos;ABλ+1

λ-1-λ+2

1

证明　①不妨设A点位于B点的上方,l是与焦点F相对应的准线,A、B在l上的射影分别为C、D,则由圆锥曲线的统一定义得

=AC,e

=BDe-e

1

设B在AC上的射影为H,则在直角三角形ABH中,有

AH=AC-CH=AC-BD

ee

(1)(2)(3)(4)

由题意知AF=λBF,代入(1)得AHe

又AB=AF+BF=BF+BF=(λ+1)BFθ再由题意及作图知cos∠HAB=cosθ将(2)和(3)代入(4)得,cos

AB

λλ

θ=1,所以ecos

λ+1e(λ+1)

AB

λθ将①的结论ecos代入定理3得λ+1λ-因为λ>1,所以,1-λ+2

=

λ-1-λ+=

2

(5)

>0,故(5)可化为AB

λ-1-λ+2

1

将

AF和BF的比变换为AF和BF的积,进行研究,则得定理5　设F是横向型圆锥曲线的焦点,经过F作倾斜角是θ的直线,交圆锥曲线于A,B两点,e是

311

数学论文二

圆锥曲线的离心率,焦点F

到相应准线的距离为p,若AF BF=λ>0,则有

22

λ=22①;②AB=1

epecosθ-1

θx=tcos

(t为参数),代入定理3的证明过程的(3)得证明　①设直线AFBθy=tsin

(ecosθ-1)t+2epcosθ t+ep=0,由参数t的几何意义及韦达定理得

2

2

2

2

2

2

λ=AF

BF=t1t2

2

2

=

2

2

22

ecosθ-12

2

1

②由上式得1-ecos2

2

λ

,代入定理3得AB

ep

1

定理6　过椭圆2+2=1(a>b>0)焦点且倾斜角为θ的直线与椭圆相交于A、B两点,O是椭圆中

ab

心,则=0的充分必要条件是2=2-21

sinθba

22

θ),代入椭圆方程整理得证明　不妨设焦点为右焦点F(c,0),则AB的方程y=k(x-c),(k=tan

(b+ak)x-2ackx+(ack-ab)=0

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

(1)

设A(x1,y1),B(x2,y2),因为O(0,0),所以=(x1,y1),=(x2,y2),则

y1=k(x1-c),y2=k(x2-c),故=0Ζx1x2+y1y2=0Ζx1x2+k(x1-c) k(x2-c)=0Ζ(1+k)x1x2-ck(x1+x2)+ck=0

2

2

2

2

(2)

2

将方程(1)的两根之和与积代入(2)化简得

k2222222Ζ22+2-1Ζ1ac-ab-bckbab2

22

2

2

2+222sinθab定理7　221(a>0,b>0)焦点且倾斜角为θ的直线与双曲线相交于A、B两点,O是

ab

2

222222

双曲线中心,则=0的充要条件是22-21

sinθab

22

θ),代入双曲线方程整理证明　不妨设焦点为右焦点F则(c,0),则AB的方程y=k(x-c),(k=tan

22222222222

得(b-ak)x+2ackx-(ack+ab)=0

2222

同定理4的证明得(1+k)x1x2-ck(x1+x2)+ck=0

(1)(2)

2

将方程(1)的两根之和与积代入(2)化简解得

k222-2Ζ2222Ζ2=2-2-1Ζ1+2

bc-ac-abkabtanθab

2

22

2

2

2

1+cotθ=cscθ22-2-2-2122

sinθababab

2

2

22222222

若我们掌握了上述几个定理的证明思路,则此类问题便迎刃而解1

例1　(2008年北京海淀区高考模拟题)经过椭圆2+2=1(a>b>0)焦点F作倾斜角为60°的直线l,

ab

2

2

若l与椭圆的两个交点都在y轴的同一侧,求椭圆离心率为e

的取值范围 …… 此处隐藏：4569字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……