线性代数 第二章第三节

第五节 初等变换与初等矩阵本节重点： 本节重点： 1、掌握三类初等变换，三类初等矩阵，行阶梯形 、掌握三类初等变换，三类初等矩阵， 矩阵，行最简形矩阵的概念； 矩阵，行最简形矩阵的概念； 2、掌握矩阵等价的含义与性质； 、掌握矩阵等价的含义与性质； 掌握初等矩阵的两个重要性质； 3、掌握初等矩阵的两个重要性质； 掌握方阵可逆，及矩阵A 等价的充要条件； 4、掌握方阵可逆，及矩阵A与B等价的充要条件； 5、熟练掌握用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵 6、会利用初等变换求逆矩阵

一、问题引出 引例 用消元法求解线性方程组1 2 3

1 2

2 x1 + 3 x2 + x3 = 5 x1 x2 x3 = 7 x + 2 x = 10 2 3

2 3 1 5 1 1 1 7 0 1 2 10 1 1 1 7 2 3 1 5 0 1 2 10 1 0 0 1 1 1 1 7 1 9 2 10

增 广 矩 阵

1′ x1 x2 x3 = 7 2 x1 + 3 x2 + x3 = 5 2′ x + 2 x = 10 3′ 2 3 ⑴ ⑵ ⑶

r1 r2

x2 x3 = 9 x + 2 x = 10 3 ( 1)⑵ + ⑶ 2

2 1′+ 2′ x x x = 7 1 2 3

r2 + 2r1

' x1 x2 x3 = 7 (1) (2)' x2 x3 = 9 (3)' 1 ' 3 x3 = 1 (3)

1 1 1 7 0 1 1 9 0 0 3 1

3

x1 x2 x3 = 7 x2 x3 = 9 x = 1/ 3 3 消元法： 消元法：对方程组进行三种变换 对换某两个方程 一个方程的倍数加到另一个方程上 方程两边乘同一个数

1 1 1 7 0 1 1 9 0 0 1 1/ 3

1 r3 3

对增广矩阵进行三种变换 对换某两行 某一行的倍数加到另一行上 某一行元素乘同一个数 矩阵的初等行变换3

二、矩阵的初等变换 下面三种变换称为矩阵的初等行变换 初等行变换: 1、定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:

( 2 ) 以数

( 1 ) 对 调 两 行 ( 对 调 i , j 两 行 ， 记 作 ri rj) ;k ≠ 0 乘以某 一行的所有元 素 (第 i 行乘 k,记作 ri × k)

( 3 ) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的. 元素上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上记作ri + krj)

同理可定义矩阵的初等列变换，(用记号“ 表示 表示) 同理可定义矩阵的初等列变换，(用记号“c”表示) 初等列变换，(用记号 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的 初等变换。4

2、等价矩阵及其标准形 定义1 如果矩阵 A 经过有限次初等变换变为矩 定义1 等价。 阵 B ,就称矩阵 A 与 B 等价。记作A B .矩阵的等价关系有以下性质：反身性：A A

对称性：若A B , 则B A. 传递性：若A

B , B C , 则 A C .

定义2 行阶梯形矩阵： 定义2 行阶梯形矩阵： (1)可划出一条阶梯线，线的下方元素全为零； (1)可划出一条阶梯线，线的下方元素全为零； (2)每个阶梯只有一行， (2)每个阶梯只有一行，且每个阶梯的第一个 每个阶梯只有一行 元素为非零元，阶梯数即是非零行的行数。 元素为非零元，阶梯数即是非零行的行数。5

如： 1

2 4 3 0 3 1 2 0 0 5 6 0 0 0 0 4 1 r2 4 1 0 3 0 1 3 r1 2r3 0 0 0

3 6 7 8 0 5 1 2 0 0 0 3

1 0 0 0

0 6 24 0 0

1 0 0 0

0

6 0 10 1 3 1 0 4 4 0 0 1 3 0 0 0 0 6

定义3 行最简形矩阵： 定义3 行最简形矩阵： 行阶梯形矩阵中，非零行的第一个非零元素 阶梯形矩阵中， 且其所在列的其它元素均为0. 为1,且其所在列的其它元素均为0. 如： 1

0 3 0 0 1 5 0 0 0 0 1

1 0 3 2 0 0 1 5 0 0 0 0

注：1、任意一个矩阵都可以经过初等行变换化为 行最简形矩阵； 行最简形矩阵； 2、今后常常要把一个矩阵化为行阶梯形矩阵或 行最简形矩阵7

1 0 0 0

0

6 0 10 c3 + 6c1 1 3 c3 + 1 c2 1 0 4 4 4 0 0 1 3 c5 + 3c4 0 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 10 3 1 0 0 4 0 0 1 0 0 0 0 0

c5 + ( 10)c1 1 0 0 3 c5 + ( )c2 0 1 0 4 c3 c4

0 0 0 0 E3 = 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 标准形8

定义4 标准形矩阵 定义4 (1)矩阵的左上角是一个单位矩阵， (1)矩阵的左上角是一个单位矩阵，其余元素 全为零； 全为零； (2)单位矩阵的阶数 (2)单位矩阵的阶数 r 就是行阶梯形矩阵中非零 行的行数， 行的行数， Er 0 简记为： 0 0

三、初等矩阵及其性质 1、定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到 的矩阵称为初等矩阵. 的矩阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等矩阵. 注：三种初等变换对应着三种初等矩阵.

以下只对应初等行变换，同理可对应初等列变换。

1)、 等对换矩阵E(i,j) ) 初 1 E (i, j) =

对调 E 中第 i , j 两行，即 ( ri rj ),得初等矩阵O 1 0 1 M 1 O 1 L 0 1 O M L 1 1

←第i 行

←第 j 行

1 0 0 如： E3 = 0 1 0 0 0 1

1 0 0 E (2,3) 0 0 1 = 0 1 0

2)、初等倍乘矩阵E ( i ( k ) )矩阵 E ( i ( k )). 1 E ( i ( k )) =

1 0 如： E3 = 0 1 0 0

( k ≠ 0)

以数 k ≠ 0乘单位矩阵的第 i行( ri × k ),得初等 O 1 k ←第i 行 1 O 1 0 0 1 0 1 E 3 = 0 1 0 0 2 0 0 1/ 2 12 1

3)、初等倍加矩阵 )

以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri + kr j ) 1 E ( ij ( k )) = 1 0 如： E3 = 0 1 0 0 O ← 第i 行 1 L k O ← 第j 行 1 O 1 0 1 0 0 E ( 2, 2) ) = 2 1 0 1( 0 0 0 1 1

2、初等矩阵的性质 、 1)初等矩阵的转置仍为初等矩阵 初等矩阵都是可逆矩阵， 2)初等矩阵都是可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为 同类型的初等矩阵。 同类型的初等矩阵。

E (i , j ) = 1E (i ( k )) = kE (ij ( k )) = 1

E (i , j ) 1 = E ( i , j )1 E (i ( k )) = E (i ( )); k 1

E (ij ( k )) 1 = E (ij ( k )) .14

3、矩阵的初等变换与矩阵乘法之间的关系 、 例： 0 1 0 1 2 0 3 3 1 6 2 3 1 6 2 = 1 2 0 3 1 0 0 0 0 1 4 2 2 7 4 2 2 7 1 0 0 1 3 0 1 0 4 0 1 4 1 3 4 2 1 2 0 6 2 3 2 7

0 2 0 3 1 2 = 3 1 6 1 6 2 2 2 7 0 6 2 1 0 0 0 0 1 0 3 1 0 0 = 1 0 1 0 4 0 0 1

3 2 5 3 2 7 15

2

1

1 9 2 2

定理1 定理

设 A = ( aij ) m× n

1)、对 A施行一次 行 初等变换，其结果相当于用 一个 相应的m阶 初等矩阵 左乘矩阵 A; 2)、对 A施行一次 列 初等变换，其结果相当于用 一个 相应的n阶 初等矩阵 右乘矩阵 A;例1 设矩阵 1 2 3 1 A = 2 4 …… 此处隐藏：1814字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……