2020年高考数学考试大纲解读专题06平面解析几何(含解析)理

06 平面解析几何

考纲原文

（四）平面解析几何初步

1.直线与方程

(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.

(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.

(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.

(4)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.

(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.

(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.

2.圆与方程

(1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.

(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

3.空间直角坐标系

(1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.

(2)会推导空间两点间的距离公式.

（十五）圆锥曲线与方程

1.圆锥曲线

(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.

(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.

(4)了解圆锥曲线的简单应用.

(5)理解数形结合的思想.

2.曲线与方程

了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.

1

2 预计2019年的高考中，对平面解析几何部分的考查总体保持稳定，其考查情况的预测如下：

直线和圆的方程问题单独考查的几率很小，多作为条件和圆锥曲线结合起来进行命题；直线与圆的位置关系是命题的热点，需给予重视，试题多以选择题或填空题的形式命制，难度中等及偏下.

圆锥曲线为每年高考考查的热点，题目一般为“一小(选择题或填空题）一大（解答题)”或“两小一大”，小题多是考查圆锥曲线的标准方程和几何性质，解答题般作为压轴题出现，考查直线与圆锥曲线的位置关系、定点、定值、范围及探索性问题等，其中以对椭圆和抛物线的相关知识的考查为主，题目难度较大，

考向一 圆与方程

样题1 （2018新课标Ⅲ理）直线分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆

上，则ABP △面积的取值范围是

A ．[]26，

B ．[]48， C

．

D

．?? 【答案】A 【解析】直线分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，

,

则AB =. 点P 在圆上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离.

故点P 到直线

的距离2d

的范围为，则.

故答案为A. 【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线的距离，得到点P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可.

样题2 （2018江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ?=，则点A 的横坐标为________．

【答案】3

3

【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.

考向二 圆锥曲线的简单几何性质

样题3 （2018新课标全国Ⅱ理科）已知1F ，2F 是椭圆

的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A

的直线上，12PF F △为等腰三角形，，则C 的离心率为

A ．23

B ．12

C ．13

D ．14

【答案】D

【解析】因为12PF F △为等腰三角形，

，所以， 由AP

的斜率为6

可得， 所以，，

由正弦定理得，

4 所以， 所以4a c =，14

e =，故选D ． 所以

，则． 从而

，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以．

综上，．

考向四 曲线方程的求解 样题9 已知抛物线C ：2

2y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．

（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；

（2）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．

【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】由题可知)0,2

1

(F ．设1:l y a =，2:l y b =，则0≠ab ， 且2(,)2a A a ，2

(,)2

b B b ，1(,)2P a -，1(,)2Q b -，． 记过A ，B 两点的直线为l ，则直线l 的方程为

． （1） 由于F 在线段AB 上，故01=+ab ．

记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，

则

，所以AR FQ ． （2）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，

则，． 由题设可得，

5 所以01=x (舍去)或11=x ．

设满足条件的AB 的中点为),(y x E ．

当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =，可得

， 而y b a =+2，所以．

当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以所求轨迹方程为12-=x y ．

考向五 圆锥曲线的其他综合问题

样题10 （2018新课标全国Ⅲ理科）已知斜率为k 的直线l 与椭圆

交于A ，B 两点，线段AB 的中点为

．

（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】（1）设，则． 两式相减，并由122

1y x y k x -=-得． 由题设知，于是34k m =-．由题设得302m <<，故12

k <-．

6 设该数列的公差为d ，则．① 将34m =代入34k m =-得1k =-，所以l 的方程为74

y x =-+， 代入C 的方程，并整理得

，故，

代入①解得||28d =，

所以该数列的公差为28

或28

-． 样题11 设椭圆

的右焦点为1F

，离心率为

2，过点1F 且与x 轴垂直的直线被

.

（1）求椭圆C 的方程； （2）若2

4y x =上存在两点M N 、，椭圆C 上存在两个点P Q 、满足： 1P Q F 、、三点共线， 1M N F 、、三点共线且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 的面积的最小值.

【解析】（1

2

2b a

= ∵离心率

为2，∴

2c a =，又222a b c =+，解得．∴椭圆C 的方程为2

212

x y +=. （2）当直线MN 的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，此时；

当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为

，联立2

4y x =，得，

设,M N 的横坐标分别为,M N x x ， 则，∴MN =，

由PQ MN ⊥可得直线PQ 的方程为

，联立椭圆C 的方程，消去y ，得，

7 设,P Q 的横坐标分别为,P Q x x ，则P Q x x

∴

，,令，则

， 综上，.